Uma densidade de corrente uniforme dada por \vec{J}=J_{0} \vec{a}_{z}\left[A / m^{2}\right] origina o vetor potencial magnético \vec{A}=-\frac{\mu_{0} J_{0}}{4}\left(x^{2}+y^{2}\right) \vec{a}_{z}[W b / m].
a) Aplique o vetor equação de Poisson para confirmar a afirmação acima.
b) Use a expressão referente a \vec{A} para determinar \vec{H}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Densidade de corrente: \vec{J}=J_{0}\,\vec{a}_{z} \left[\mathrm{A/m^{2}}\right].
  • Potencial vetorial magnético proposto: \vec{A}=-\dfrac{\mu_{0}J_{0}}{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)\vec{a}_{z} \left[\mathrm{Wb/m}\right].
O que se pede:
(a) Aplicar a equação vetorial de Poisson para confirmar que a \vec{A} dada é consistente com \vec{J}.
(b) Usar a expressão de \vec{A} para determinar \vec{H}.

Passo 2

Lembrar a equação vetorial de Poisson em magnetostática (no calibre de Coulomb \nabla\!\cdot\!\vec{A}=0):
\nabla^{2}\vec{A}=-\mu_{0}\vec{J}.
Aqui \nabla^{2} é o laplaciano vetorial que age componente a componente, isto é, \nabla^{2}\vec{A}=(\nabla^{2}A_x)\vec{a}_x+(\nabla^{2}A_y)\vec{a}_y+(\nabla^{2}A_z)\vec{a}_z.

Passo 3

Verificar primeiro o calibre (divergência) de \vec{A}. Como \vec{A} tem apenas componente z e depende só de x e y,
\vec{A}=A_z(x,y)\,\vec{a}_z,\qquad A_z(x,y)=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{4}(x^{2}+y^{2}).
Calcule a divergência:
\nabla\!\cdot\!\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}=0+0+\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Como A_z não depende de z, \dfrac{\partial A_z}{\partial z}=0. Portanto
\nabla\!\cdot\!\vec{A}=0,
ou seja, o calibre de Coulomb está satisfeito e podemos usar a equação de Poisson acima.

Passo 4

Calcular o laplaciano da componente z. Primeiro derivadas segundas:
\frac{\partial^{2}A_z}{\partial x^{2}}=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{4}\cdot\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(x^{2}+y^{2}) =-\frac{\mu_{0}J_{0}}{4}\cdot 2 = -\frac{\mu_{0}J_{0}}{2},
\frac{\partial^{2}A_z}{\partial y^{2}}=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{4}\cdot\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}(x^{2}+y^{2}) =-\frac{\mu_{0}J_{0}}{4}\cdot 2 = -\frac{\mu_{0}J_{0}}{2},
\frac{\partial^{2}A_z}{\partial z^{2}}=0\quad(\text{pois }A_z\text{ independe de }z).
Somando para obter o laplaciano escalar da componente z:
\nabla^{2}A_z=\frac{\partial^{2}A_z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}A_z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}A_z}{\partial z^{2}} =-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}+0=-\mu_{0}J_{0}.

Passo 5

Como as componentes x e y de \vec{A} são zero, o laplaciano vetorial é
\nabla^{2}\vec{A}=(\nabla^{2}A_x)\vec{a}_x+(\nabla^{2}A_y)\vec{a}_y+(\nabla^{2}A_z)\vec{a}_z =0+0+(-\mu_{0}J_{0})\vec{a}_z=-\mu_{0}J_{0}\,\vec{a}_z.
Mas \vec{J}=J_{0}\vec{a}_z, logo
\nabla^{2}\vec{A}=-\mu_{0}\vec{J},
confirmando a afirmação do item (a).

Passo 6

Passando ao item (b): relações usadas
\vec{B}=\nabla\times\vec{A},\qquad \vec{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{B}
(em vácuo/Meio linear).

Passo 7

Calcular o rotacional de \vec{A}=A_z(x,y)\,\vec{a}_z. Fórmula em coordenadas cartesianas:
\nabla\times\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\vec{a}_x +\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\vec{a}_y +\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\vec{a}_z.
Aqui A_x=A_y=0, então simplifica para
\nabla\times\vec{A}=\frac{\partial A_z}{\partial y}\,\vec{a}_x-\frac{\partial A_z}{\partial x}\,\vec{a}_y.

Passo 8

Calcular as derivadas parciais de A_z:
\frac{\partial A_z}{\partial x}=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{4}\cdot 2x=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,x, \qquad \frac{\partial A_z}{\partial y}=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{4}\cdot 2y=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,y.
Substituindo no rotacional:
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,y\,\vec{a}_x -\left(-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,x\right)\vec{a}_y =-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,y\,\vec{a}_x+\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,x\,\vec{a}_y.

Passo 9

Dividindo por \mu_{0} para obter \vec{H}:
\vec{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{B}=-\frac{J_{0}}{2}\,y\,\vec{a}_x+\frac{J_{0}}{2}\,x\,\vec{a}_y =\frac{J_{0}}{2}\bigl(x\,\vec{a}_y-y\,\vec{a}_x\bigr).
Em coordenadas cilíndricas, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e \vec{a}_{\varphi}=-\sin\theta\,\vec{a}_x+\cos\theta\,\vec{a}_y, isso é
\vec{H}=\frac{J_{0}\,r}{2}\,\vec{a}_{\varphi}.
Isto mostra que \vec{H} é azimutal ( \vec{a}_\varphi) com módulo \dfrac{J_0 r}{2}.

Resposta

(a) \nabla^{2}\vec{A}=-\mu_{0}\vec{J} (confirmado).
(b) \displaystyle \vec{H}=\frac{J_{0}}{2}\bigl(x\,\vec{a}_y-y\,\vec{a}_x\bigr)=\frac{J_{0}\,r}{2}\,\vec{a}_{\varphi}.

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