Uma densidade de corrente uniforme dada por
origina o vetor potencial magnético
.
a) Aplique o vetor equação de Poisson para confirmar a afirmação acima.
b) Use a expressão referente a
para determinar
.
a) Aplique o vetor equação de Poisson para confirmar a afirmação acima.
b) Use a expressão referente a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Densidade de corrente:
. - Potencial vetorial magnético proposto:
.
O que se pede:
(a) Aplicar a equação vetorial de Poisson para confirmar que a dada é consistente com
.
(b) Usar a expressão de para determinar
.
(a) Aplicar a equação vetorial de Poisson para confirmar que a
(b) Usar a expressão de
Passo 2
Lembrar a equação vetorial de Poisson em magnetostática (no calibre de Coulomb
):
Aqui
é o laplaciano vetorial que age componente a componente, isto é,
.
Passo 3
Verificar primeiro o calibre (divergência) de
. Como
tem apenas componente
e depende só de
e
,
Calcule a divergência:
Como
não depende de
,
. Portanto
ou seja, o calibre de Coulomb está satisfeito e podemos usar a equação de Poisson acima.
Passo 4
Calcular o laplaciano da componente
. Primeiro derivadas segundas:
Somando para obter o laplaciano escalar da componente
:
Passo 5
Como as componentes
e
de
são zero, o laplaciano vetorial é
Mas
, logo
confirmando a afirmação do item (a).
Passo 6
Passando ao item (b): relações usadas
(em vácuo/Meio linear).
Passo 7
Calcular o rotacional de
. Fórmula em coordenadas cartesianas:
Aqui
, então simplifica para
Passo 8
Calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo no rotacional:
Passo 9
Dividindo por
para obter
:
Em coordenadas cilíndricas, com
e
, isso é
Isto mostra que
é azimutal (
) com módulo
.
Resposta
(a)
(confirmado).
(b) .
(b)