Determine a densidade final da água. Considere a água inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C}, 1 \mathrm{~atm} e \rho=998 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}. Suponha que a compressibilidade isotérmica da água seja \alpha= 4,80 \times 10^{\wedge}-5 \mathrm{~atm}^{-1} e o coeficiente de expansão na temperatura média seja igual a \beta=0,337 \times 10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}
se for aquecida para 50^{\circ} \mathrm{C} sob pressão constante de 1 atm

Passo 1

O enunciado pede para determinar a densidade final da água quando ela é aquecida de 20^{\circ}\mathrm{C} para 50^{\circ}\mathrm{C} sob pressão constante de 1\\ \mathrm{atm}. Os dados fornecidos são (peguei todos do enunciado):
  • Temperatura inicial: T_i = 20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_f = 50^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão inicial e final: P_i = P_f = 1\\ \mathrm{atm} (pressão constante).
  • Densidade inicial: \rho_i = 998\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}.
  • Compressibilidade isotérmica: \alpha = 4{,}80\times10^{-5}\\ \mathrm{atm}^{-1}.
  • Coeficiente de expansão volumétrica (na temperatura média): \beta = 0{,}337\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}.
O que se pede: a densidade final \rho_f da água após o aquecimento.

Passo 2

Conceitos importantes (mini-aula curta e intuitiva):
  • O coeficiente de expansão volumétrica \beta mede quanto o volume muda com a temperatura, à pressão constante. Matematicamente,
\beta \doteq \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Significado físico: se \beta>0, ao aumentar T o volume aumenta.
  • A compressibilidade isotérmica \alpha mede quanto o volume muda com a pressão, à temperatura constante. Matematicamente,
\alpha \doteq -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}.
Significado físico: se a pressão aumenta, o volume normalmente diminui; o sinal menos deixa \alpha positivo.
Essas duas quantidades servem para aproximar pequenas variações no volume por variações em P e T.

Passo 3

Relação diferencial que junta ambos os efeitos (expansão térmica e compressão):
\frac{dV}{V} = -\alpha\,dP + \beta\,dT.
Explicação: a variação relativa do volume é a soma das contribuições da variação de pressão (com sinal negativo) e da variação de temperatura.
Como a massa m da água é constante, \rho = \dfrac{m}{V}. Logo a variação relativa da densidade é o negativo da variação relativa do volume:
\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}.
Substituindo a relação anterior:
\frac{d\rho}{\rho} = \alpha\,dP - \beta\,dT.
Este é um resultado útil: a densidade aumenta com aumento de pressão (termo com \alpha) e diminui com aumento de temperatura (termo com \beta).

Passo 4

Aplicando ao problema: a pressão é constante ( dP=0), portanto o termo de compressibilidade não contribui. Assim
\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx -\beta\,\Delta T,
onde \Delta T = T_f - T_i.
Calcule \Delta T:
\Delta T = 50^{\circ}\mathrm{C} - 20^{\circ}\mathrm{C} = 30\\ \mathrm{K}.
Substituindo os valores (usei \beta do enunciado):
\beta\,\Delta T = \left(0{,}337\times10^{-3}\right)\times 30 = 0{,}01011.
Portanto a variação relativa da densidade é
\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx -0{,}01011.
Isto significa que a densidade diminui cerca de 1{,}011\%.

Passo 5

Calcular a densidade final pelo procedimento direto (forma de primeira ordem, válida pois \beta\Delta T é pequeno):
\rho_f \approx \rho_i\,(1 - \beta\,\Delta T).
Substituindo números:
\rho_f \approx 998\left(1 - 0{,}01011\right) = 998\times 0{,}98989 = 987{,}91022\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}.
Arredondando razoavelmente (mesma ordem de precisão dos dados), \rho_f \approx 987{,}91\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}.
Observação sobre método mais “exato”: se \beta for considerado constante para todo o intervalo, a integração exata dá V_f=V_i\exp(\beta\Delta T) e portanto \rho_f=\rho_i\exp(-\beta\Delta T). Aplicando isso daria um valor muito próximo (diferença desprezível aqui): \rho_f\approx 987{,}96\\ \mathrm{kg/m^3}. A aproximação linear usada acima é totalmente adequada para \beta\Delta T\ll 1.
Também observe que a compressibilidade \alpha fornecida não entrou no cálculo porque a pressão ficou constante ( dP=0). Então não foi necessário usá-la — mas era importante reconhecê-la e justificar que não contribui.

Passo 6

Recapitulando de forma motivadora: aquecer a água a pressão constante faz o volume aumentar; como a massa não muda, a densidade cai. Com o coeficiente de expansão dado, a queda na densidade para +30 K é pequena (≈1%), então a densidade final fica pouco abaixo de 998\\ \mathrm{kg/m^3}. Tudo certo — você agora sabe como relacionar \alpha, \beta, \Delta P e \Delta T para estimar mudanças de densidade numa prova!

Resposta

\rho_f = 987{,}91\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}

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