Determine a densidade final da água. Considere a água inicialmente a
e
. Suponha que a compressibilidade isotérmica da água seja
4,80
e o coeficiente de expansão na temperatura média seja igual a
se for aquecida para
sob pressão constante de 1 atm
se for aquecida para
Passo 1
O enunciado pede para determinar a densidade final da água quando ela é aquecida de
para
sob pressão constante de
. Os dados fornecidos são (peguei todos do enunciado):
- Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Pressão inicial e final:
(pressão constante). - Densidade inicial:
. - Compressibilidade isotérmica:
. - Coeficiente de expansão volumétrica (na temperatura média):
.
O que se pede: a densidade final
da água após o aquecimento.
Passo 2
Conceitos importantes (mini-aula curta e intuitiva):
- O coeficiente de expansão volumétrica
mede quanto o volume muda com a temperatura, à pressão constante. Matematicamente,
Significado físico: se
, ao aumentar
o volume aumenta.
- A compressibilidade isotérmica
mede quanto o volume muda com a pressão, à temperatura constante. Matematicamente,
Significado físico: se a pressão aumenta, o volume normalmente diminui; o sinal menos deixa
positivo.
Essas duas quantidades servem para aproximar pequenas variações no volume por variações em
e
.
Passo 3
Relação diferencial que junta ambos os efeitos (expansão térmica e compressão):
Explicação: a variação relativa do volume é a soma das contribuições da variação de pressão (com sinal negativo) e da variação de temperatura.
Como a massa
da água é constante,
. Logo a variação relativa da densidade é o negativo da variação relativa do volume:
Substituindo a relação anterior:
Este é um resultado útil: a densidade aumenta com aumento de pressão (termo com
) e diminui com aumento de temperatura (termo com
).
Passo 4
Aplicando ao problema: a pressão é constante (
), portanto o termo de compressibilidade não contribui. Assim
onde
.
Calcule
:
Substituindo os valores (usei
do enunciado):
Portanto a variação relativa da densidade é
Isto significa que a densidade diminui cerca de
.
Passo 5
Calcular a densidade final pelo procedimento direto (forma de primeira ordem, válida pois
é pequeno):
Substituindo números:
Arredondando razoavelmente (mesma ordem de precisão dos dados),
.
Observação sobre método mais “exato”: se
for considerado constante para todo o intervalo, a integração exata dá
e portanto
. Aplicando isso daria um valor muito próximo (diferença desprezível aqui):
. A aproximação linear usada acima é totalmente adequada para
.
Também observe que a compressibilidade
fornecida não entrou no cálculo porque a pressão ficou constante (
). Então não foi necessário usá-la — mas era importante reconhecê-la e justificar que não contribui.
Passo 6
Recapitulando de forma motivadora: aquecer a água a pressão constante faz o volume aumentar; como a massa não muda, a densidade cai. Com o coeficiente de expansão dado, a queda na densidade para +30 K é pequena (≈1%), então a densidade final fica pouco abaixo de
. Tudo certo — você agora sabe como relacionar
,
,
e
para estimar mudanças de densidade numa prova!