Uma garrafa metálica aprisiona ar a uma temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} sob pressão de 1,2 \mathrm{~atm}. Essa garrafa é colocada no interior de um forno e é aquecida até que sua tampa seja ejetada. Supondo que o ar se comporte como gás perfeito, a dilatação da garrafa seja desprezível e a condição para a tampa ser ejetada seja uma pressão igual a 2,8 \mathrm{~atm}, qual é a temperatura do ar no instante em que a tampa escapa da garrafa? Resp.: \mathbf{4 2 7}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números e o que é pedido):
  • Temperatura inicial do ar: T_1 = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão inicial do ar: P_1 = 1,2\\ \mathrm{atm}.
  • A garrafa é aquecida até que a tampa seja ejetada quando a pressão interna atinge P_2 = 2,8\\ \mathrm{atm}.
  • Pressupostos do enunciado: o ar se comporta como gás perfeito, a dilatação da garrafa é desprezível (ou seja, o volume da garrafa é constante) e a garrafa está fechada (quantidade de ar constante).
    O que se pede: determinar a temperatura do ar no instante em que a tampa escapa da garrafa, ou seja, encontrar T_2 (em graus Celsius).

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos: a lei dos gases perfeitos é
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão do gás;
  • V é o volume ocupado pelo gás;
  • n é a quantidade de matéria (número de mols);
  • R é a constante universal dos gases;
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
Explicação simples do raciocínio que vamos aplicar: como a garrafa é rígida (dilatação desprezível) temos V= constante; como a garrafa está fechada, n= constante. Com n e V constantes, da lei dos gases segue que a pressão é proporcional à temperatura absoluta. Em forma de razão:
\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}.
Dessa igualdade isolamos T_2:
T_2 = T_1\cdot\frac{P_2}{P_1}.
Observação didática importante: aqui T_1 e T_2 devem estar na escala absoluta (kelvin). Não se pode usar diretamente graus Celsius na relação de proporcionalidade.

Passo 3

Converter a temperatura inicial para kelvin. A relação entre as escalas é aproximadamente
T(\text{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273.
Logo
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os números dados:
T_2 = T_1\cdot\frac{P_2}{P_1} = 300\cdot\frac{2,8}{1,2}.
Fazendo a conta de forma simples:
\frac{2,8}{1,2}=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\approx 2{,}333\ldots
Portanto
T_2 = 300\cdot\frac{7}{3}=100\cdot 7 = 700\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Converter T_2 de kelvin para graus Celsius:
T_2(^{\circ}\mathrm{C}) = T_2(\mathrm{K}) - 273 = 700 - 273 = 427^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação e comentário rápido: o resultado é uma temperatura muito alta ( 427^\circ\mathrm{C}), o que faz sentido dado que a pressão mais do que dobrou dentro de um volume constante. As aproximações feitas (gás ideal, garrafa rígida) são aceitáveis para um cálculo de ordem de grandeza e para a aplicação didática pedida. Força: você já entendeu o método — em prova, identificar que V e n são constantes e aplicar a proporção P\propto T é o caminho mais direto.

Resposta

\,427^\circ\mathrm{C}

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