Determine a densidade relativa \operatorname{Dr} de uma areia ( G=2,71 ) para a qual no estado natural encontrou-se \mathrm{P}=12,5 \mathrm{~N}, \mathrm{w}=40 \% e \mathrm{Sr}=92 \%. Sabe-se que os pesos específicos mínimo máximo da areia seca são, respectivamente, 11,82 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e 16,12 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a densidade relativa \mathrm{D_r} de uma areia de gravidade específica G=2,71. Sabemos que
– o teor de umidade é w=40\%,
– o grau de saturação é \mathrm{S_r}=92\%,
– os pesos específicos secos mínimos e máximos são \gamma_{d,\min}=11{,}82\\ \mathrm{kN/m^3} e \gamma_{d,\max}=16{,}12\\ \mathrm{kN/m^3},
e lembramos que
\mathrm{D_r}=\frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}},
onde e é o índice de vazios natural e e_{\max},\,e_{\min} são os índices de vazios nos estados solto e denso.

Passo 2

Vamos calcular e_{\max} a partir de \gamma_{d,\min}. Para uma areia seca valem as relações
\gamma_d = \frac{G\,\gamma_w}{1+e},
onde \gamma_w=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3}. Invertendo para e,
e = \frac{G\,\gamma_w}{\gamma_d} - 1.
Portanto
e_{\max} = \frac{2{,}71\times 9{,}81}{11{,}82} - 1 \approx 1{,}25.

Passo 3

De modo análogo, e_{\min} a partir de \gamma_{d,\max}:
e_{\min} = \frac{2{,}71\times 9{,}81}{16{,}12} - 1 \approx 0{,}65.

Passo 4

Agora calculamos o índice de vazios natural e. Usamos a definição de grau de saturação
\mathrm{S_r} = \frac{V_w}{V_v} \quad\Longrightarrow\quad V_w = \mathrm{S_r}\,V_v.
Mas V_w = w\,V_s/\gamma_w e V_v = e\,V_s; simplificando V_s, chega-se a
e = \frac{w\,G}{\mathrm{S_r}} = \frac{0{,}40\times 2{,}71}{0{,}92} \approx 1{,}18.

Passo 5

Por fim, a densidade relativa
\mathrm{D_r} = \frac{e_{\max} - e}{e_{\max} - e_{\min}} = \frac{1{,}25 - 1{,}18}{1{,}25 - 0{,}65} = \frac{0{,}07}{0{,}60} \approx 0{,}12 \quad\text{ou}\quad 12\%.

Resposta

A densidade relativa é aproximadamente 12\%.

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