Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
10^{2026}-1 é divisível por 3 .

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique se a frase abaixo é uma proposição ou não, e explique o porquê:
10^{2026}-1 é divisível por 3.
Informações dadas: a frase é exatamente essa (não há variáveis livres nem contexto extra). A tarefa é classificar a frase (proposição ou não) e justificar.

Passo 2

O que é uma proposição? Vou explicar de forma clara e com exemplos para você sentir segurança na prova.
  • Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira, ou é falsa (não pode ser as duas coisas e não pode ser ambígua).
  • Exemplos de proposições:
    • 2+2=4 — é uma proposição e é verdadeira.
    • 2+2=5 — é uma proposição e é falsa.
  • Exemplos de frases que NÃO são proposições:
    • “Feche a porta.” — é um mandato, não tem valor de verdade.
    • “Você gosta de pizza?” — é uma pergunta, não afirma algo com valor de verdade.
    • A expressão x>0 sem indicar o valor de x — é uma sentença aberta (depende da variável), então não é proposição enquanto x não for fixado.

Passo 3

Aplicando isso ao enunciado: a frase " 10^{2026}-1 é divisível por 3" é uma afirmação clara e sem variáveis livres. Ou ela é verdadeira ou é falsa — portanto é uma proposição. Não há ambiguidade nem pedido de ação nem pergunta.

Passo 4

Agora precisamos decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa. Vou mostrar um método simples e padrão: usar aritmética modular (restos da divisão).
Lembrete rápido (fórmula que vou usar e por quê):
  • Se dois números são congruentes módulo m, isto é, a\equiv b \pmod{m}, então para qualquer inteiro n\ge1 vale a^n\equiv b^n \pmod{m}. Intuição: congruência significa a=b+km; ao multiplicar e expandir potências os termos extras ficam múltiplos de m.
  • Para testar divisibilidade por 3 podemos trabalhar com congruências módulo 3: se um número é congruente a 0 módulo 3, então é divisível por 3.

Passo 5

Aplicando à nossa expressão:
  1. Observe que 10 deixa resto 1 quando dividido por 3. Em símbolos:
10\equiv 1 \pmod{3},
porque 10-1=9 é múltiplo de 3.
  1. Pelo fato citado, elevando ambos os lados à potência 2026 obtemos
10^{2026}\equiv 1^{2026} \pmod{3}.
  1. Mas 1^{2026}=1, então
10^{2026}\equiv 1 \pmod{3}.
  1. Subtraindo 1 dos dois lados:
10^{2026}-1\equiv 0 \pmod{3}.
  1. A congruência 10^{2026}-1\equiv 0 \pmod{3} significa exatamente que 3 divide 10^{2026}-1. Como checagem rápida, para potências menores vemos o padrão: 10^1-1=9, 10^2-1=99, ambos divisíveis por 3; o argumento modular generaliza isso para qualquer expoente inteiro positivo.

Passo 6

Conclusão final do raciocínio: a frase é uma proposição (pois é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa) e, pelo cálculo acima, essa proposição é verdadeira — isto é, 10^{2026}-1 é divisível por 3.

Resposta

É proposição.
É verdadeira: 10^{2026}-1 é divisível por 3.

Exercícios relacionados