Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
é divisível por 3 .
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique se a frase abaixo é uma proposição ou não, e explique o porquê:
Informações dadas: a frase é exatamente essa (não há variáveis livres nem contexto extra). A tarefa é classificar a frase (proposição ou não) e justificar.
Passo 2
O que é uma proposição? Vou explicar de forma clara e com exemplos para você sentir segurança na prova.
- Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira, ou é falsa (não pode ser as duas coisas e não pode ser ambígua).
- Exemplos de proposições:
-
— é uma proposição e é verdadeira. -
— é uma proposição e é falsa.
-
- Exemplos de frases que NÃO são proposições:
- “Feche a porta.” — é um mandato, não tem valor de verdade.
- “Você gosta de pizza?” — é uma pergunta, não afirma algo com valor de verdade.
- A expressão
sem indicar o valor de — é uma sentença aberta (depende da variável), então não é proposição enquanto não for fixado.
Passo 3
Aplicando isso ao enunciado: a frase "
é divisível por
" é uma afirmação clara e sem variáveis livres. Ou ela é verdadeira ou é falsa — portanto é uma proposição. Não há ambiguidade nem pedido de ação nem pergunta.
Passo 4
Agora precisamos decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa. Vou mostrar um método simples e padrão: usar aritmética modular (restos da divisão).
Lembrete rápido (fórmula que vou usar e por quê):
- Se dois números são congruentes módulo
, isto é, , então para qualquer inteiro vale . Intuição: congruência significa ; ao multiplicar e expandir potências os termos extras ficam múltiplos de . - Para testar divisibilidade por
podemos trabalhar com congruências módulo : se um número é congruente a módulo , então é divisível por .
Passo 5
Aplicando à nossa expressão:
- Observe que
deixa resto quando dividido por . Em símbolos:
porque
é múltiplo de
.
- Pelo fato citado, elevando ambos os lados à potência
obtemos
- Mas
, então
- Subtraindo
dos dois lados:
- A congruência
significa exatamente que divide . Como checagem rápida, para potências menores vemos o padrão: , , ambos divisíveis por ; o argumento modular generaliza isso para qualquer expoente inteiro positivo.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio: a frase é uma proposição (pois é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa) e, pelo cálculo acima, essa proposição é verdadeira — isto é,
é divisível por
.
Resposta
É proposição.
É verdadeira: é divisível por
.
É verdadeira: