Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
\forall x \in \mathbb{R} e \forall \varepsilon>0, \varepsilon \in \mathbb{R}, \exists r \in \mathbb{Q} tal que |x-r|<\varepsilon.

Passo 1

Vou listar claramente as “frases” que aparecem no enunciado (peguei exatamente do enunciado):
  1. \forall x \in \mathbb{R}
  2. \forall \varepsilon>0,\\ \varepsilon \in \mathbb{R}
  3. \exists r \in \mathbb{Q}
  4. |x-r|<\varepsilon
  5. a frase completa (juntando tudo): \forall x\in\mathbb{R}\\ \forall \varepsilon>0\\ \exists r\in\mathbb{Q}\\ \text{tal que}\\ |x-r|<\varepsilon.
O enunciado pede que eu diga quais dessas são proposições e quais não são, e explique porquê.

Passo 2

O que é uma proposição? Vou explicar de um jeito bem direto: uma proposição é uma frase declarativa que tem valor de verdade bem definido — ou é verdadeira, ou é falsa. Exemplos:
  • 2>0 é uma proposição (verdadeira).
  • x>0 por si só NÃO é uma proposição, porque depende do valor de x (a variável x está “livre”): se x=1 a frase é verdadeira, se x=-1 é falsa. Portanto, frases com variáveis livres não são proposições até que se diga o que as variáveis valem ou se as quantifique.
Importante: quando todas as variáveis em uma expressão são ligadas por quantificadores (como \forall ou \exists), a expressão fica “fechada” e aí é uma proposição (pode ser avaliada como verdadeira ou falsa). Se alguma variável fica livre, não é proposição.

Passo 3

Agora analiso as peças listadas, uma a uma, verificando se são proposições.
  1. \forall x \in \mathbb{R}
Isto é apenas um quantificador seguido de um domínio, sem dizer nada sobre x. É uma frase incompleta: não afirma uma propriedade de x. Portanto não é proposição. Tem uma estrutura que exige um predicado depois (por exemplo, \forall x\in\mathbb{R},\\ x^2\ge 0 seria proposição).
  1. \forall \varepsilon>0,\\ \varepsilon \in \mathbb{R}
Isto também é fragmento: está afirmando que "para todo \varepsilon>0" (e redundante, \varepsilon\in\mathbb{R}), mas não dá um predicado que dependa de \varepsilon. Sozinha não é proposição.
  1. \exists r \in \mathbb{Q}
De novo, é só um quantificador de existência com domínio, sem completar com uma propriedade do r. Sozinha não é proposição.
  1. |x-r|<\varepsilon
Isto é uma desigualdade que envolve as variáveis x,r,\varepsilon. Se não houver indicação do que são x,r,\varepsilon (valores específicos ou quantificadores), então a frase tem variáveis livres e não é proposição. Portanto, sozinha, não é proposição.
Conclusão parcial: cada fragmento isolado acima (1–4) NÃO é proposição.

Passo 4

Agora a frase completa:
\forall x\in\mathbb{R}\\ \forall \varepsilon>0\\ \exists r\in\mathbb{Q}\\ \text{tal que}\\ |x-r|<\varepsilon.
Aqui todas as variáveis aparecem sob quantificadores: x e \varepsilon com quantificadores universais e r com quantificador existencial. Não sobram variáveis livres — a fórmula está “fechada”. Logo, essa frase completa é uma proposição (tem valor de verdade). Não só é proposição, como é uma proposição matemática clássica: ela afirma que os números racionais são densos nos reais (para cada real x e cada tolerância \varepsilon>0 existe um racional r a menos de \varepsilon de x).

Passo 5

Preciso dizer também se a proposição completa é verdadeira ou falsa — e justificar. Vou demonstrar por um argumento construtivo simples (prova padrão usando propriedade arquimediana).
Queremos: dados x\in\mathbb{R} e \varepsilon>0, encontrar r\in\mathbb{Q} com |x-r|<\varepsilon.
  1. Pela propriedade arquimediana, existe n\in\mathbb{N} tal que n>1/\varepsilon. Em particular,
\frac{1}{n}<\varepsilon.
  1. Considere nx. Tome m=\lfloor nx\rfloor (a parte inteira de nx). Então m é inteiro e
m \le nx < m+1.
Dividindo por n obtemos
\frac{m}{n} \le x < \frac{m+1}{n}.
  1. Assim
0 \le x-\frac{m}{n} < \frac{1}{n}.
Logo
\left|x-\frac{m}{n}\right|<\frac{1}{n}<\varepsilon.
  1. Note que r=\dfrac{m}{n} é racional, r\in\mathbb{Q}. Portanto, para os dados x e \varepsilon encontramos um r\in\mathbb{Q} com |x-r|<\varepsilon.
Isto mostra que a proposição completa é verdadeira. (Alternativamente, poderia usar truncamento decimal para aproximar x por racionais; o argumento acima é padrão e direto.)

Passo 6

Resumo pedagógico curto (para gravar na prova): uma expressão é proposição exatamente quando não tem variáveis livres — isto é, todas as variáveis aparecem quantificadas. Fragmentos como “ \forall x\in\mathbb{R}” ou “ |x-r|<\varepsilon” não são proposições sozinhos. A frase fechada com todos os quantificadores é proposição e, no caso dado, é verdadeira porque os racionais são densos nos reais (prova construtiva acima).

Resposta

\forall x \in \mathbb{R} — não é proposição.
\forall \varepsilon>0,\\ \varepsilon \in \mathbb{R} — não é proposição.
\exists r \in \mathbb{Q} — não é proposição.
|x-r|<\varepsilon — não é proposição.
\forall x\in\mathbb{R}\\ \forall \varepsilon>0\\ \exists r\in\mathbb{Q}\\ \text{tal que}\\ |x-r|<\varepsilon — é proposição; é verdadeira.

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