Determine a derivada de cada função abaixo
(k) y=\cot x

Passo 1

O enunciado dá a função y=\cot x e pede para determinar a derivada de y em relação a x, ou seja, \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes que o enunciado fornece ou que vamos usar explicitamente:
\cot x pode ser reescrita como \dfrac{\cos x}{\sin x}.
A derivada só fará sentido em pontos onde \sin x \neq 0 (porque aí a função está bem definida).

Passo 2

Escolha do método: vou reescrever \cot x como \dfrac{\cos x}{\sin x} e aplicar a regra do quociente (uma abordagem direta e básica que dá resultado limpo aqui). Não precisamos de métodos mais avançados; isso é rápido e confiável numa prova.

Passo 3

Apresentando a regra do quociente. Seja u(x) e v(x) funções diferenciáveis com v(x)\neq 0. A derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é dada por
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Explicando cada símbolo: u' é a derivada de u em relação a x, v' é a derivada de v em relação a x, e v^{2} significa (v(x))^{2}.

Passo 4

Derivadas básicas que usaremos: a derivada de \sin x é \cos x e a derivada de \cos x é -\sin x. Em notação:
(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.
Essas fórmulas são padrão e você deve memorizá‑las para provas.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente a \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Tome u(x)=\cos x e v(x)=\sin x. Então u'(x)=-\sin x e v'(x)=\cos x. Pelo quociente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) =\dfrac{(-\sin x)\cdot(\sin x)-(\cos x)\cdot(\cos x)}{(\sin x)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador:
(-\sin x)(\sin x)-(\cos x)(\cos x)=-\sin^{2}x-\cos^{2}x.
Usando a identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, obtemos
-\sin^{2}x-\cos^{2}x=-1.
Portanto
\frac{d}{dx}\!\left(\cot x\right)=\dfrac{-1}{\sin^{2}x}.

Passo 6

Escrevendo de forma mais habitual com a cosecante: \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Assim
\dfrac{d}{dx}\!\left(\cot x\right)=-\csc^{2}x.
Pequeno exemplo numérico para fixar: em x=\dfrac{\pi}{4} temos \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então
\left.\dfrac{d}{dx}\cot x\right|_{x=\pi/4}=-\dfrac{1}{\sin^{2}(\pi/4)}=-\dfrac{1}{(\sqrt{2}/2)^{2}}=-2.

Passo 7

Observação sobre domínio: a expressão -\csc^{2}x (ou -1/\sin^{2}x) só está definida quando \sin x\neq 0, ou seja, para x\neq k\pi com k\in\mathbb{Z}. Lembre‑se disso na prova se pedirem intervalo de definição da derivada. Força — você já entendeu a técnica!

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\csc^{2}x

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