Determine a derivada de cada função abaixo
(k) y=\cot x
Passo 1
O enunciado dá a função y=\cot x e pede para determinar a derivada de y em relação a x, ou seja, \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes que o enunciado fornece ou que vamos usar explicitamente: \cot x pode ser reescrita como \dfrac{\cos x}{\sin x}.
A derivada só fará sentido em pontos onde \sin x \neq 0 (porque aí a função está bem definida).
Passo 2
Escolha do método: vou reescrever \cot x como \dfrac{\cos x}{\sin x} e aplicar a regra do quociente (uma abordagem direta e básica que dá resultado limpo aqui). Não precisamos de métodos mais avançados; isso é rápido e confiável numa prova.
Passo 3
Apresentando a regra do quociente. Seja u(x) e v(x) funções diferenciáveis com v(x)\neq 0. A derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é dada por
Observação sobre domínio: a expressão -\csc^{2}x (ou -1/\sin^{2}x) só está definida quando \sin x\neq 0, ou seja, para x\neq k\pi com k\in\mathbb{Z}. Lembre‑se disso na prova se pedirem intervalo de definição da derivada. Força — você já entendeu a técnica!