Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
e escrever a solução usando notação de intervalos. Dados relevantes:
- A desigualdade dada é
. - Deve-se encontrar todos os
reais que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto de forma intuitiva e formal. O valor absoluto de um número mede a sua distância até zero; mais geralmente:
Aplicando isso a
, temos que
mede a distância entre
e
, já que
. A desigualdade
significa: a distância entre
e
é pelo menos
unidades. Em linguagem de intervalos isso já sugere:
Isto dá, de forma imediata, os candidatos
ou
. Agora vamos confirmar isso passo a passo por caso.]
Passo 3
Resolução por análise de casos (método algébrico simples).
Primeiro note que
. Considere dois casos para
.
Caso A:
(isto é,
).
A desigualdade fica
Somando
em ambos os lados:
Caso B:
(isto é,
).
A desigualdade fica
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando por
e invertendo o sinal da desigualdade:
Passo 4
Combinação das soluções dos dois casos: as soluções são todos os
tais que
ou
. Em notação de intervalos isso é
Passo 5
Verificações rápidas para fixar a ideia:
- Teste no limite: para
tem-se , que satisfaz . Para tem-se , também satisfeito. - Teste dentro do intervalo proibido: para
tem-se , logo não pertence à solução, como esperado.