Determine a derivada de cada função:
g(x)=x^{2}\left(x^{3}+3 x^{-3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função. As informações dadas são:
  • A função é g(x)=x^{2}\left(x^{3}+3 x^{-3}\right).
  • O objetivo é encontrar g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Primeiro é útil simplificar a função multiplicando x^{2} pelos termos dentro dos parênteses (isso evita trabalho extra com regra do produto se preferir derivar termo a termo). Faço a multiplicação termo a termo:
x^{2}\cdot x^{3}=x^{5}, \qquad x^{2}\cdot 3x^{-3}=3x^{-1}.
Portanto a função fica
g(x)=x^{5}+3x^{-1}.

Passo 3

Vou lembrar a regra básica que vou usar: a regra da potência.
  • Regra da potência: para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Isto vale para n inteiro, racional, positivo ou negativo. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 4

Agora aplico a regra da potência a cada termo de g(x)=x^{5}+3x^{-1}.
  • Derivada de x^{5} é 5x^{4} porque aplicando a regra da potência com n=5 obtemos 5x^{5-1}=5x^{4}.
  • Derivada de 3x^{-1}: a constante 3 sai na frente e derivamos x^{-1}. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-1}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=3\cdot(-1)x^{-2}=-3x^{-2}.
Somando as duas derivadas (a derivada da soma é a soma das derivadas),
g'(x)=5x^{4}-3x^{-2}.

Passo 5

Como extra (útil para prova): posso obter o mesmo resultado usando a regra do produto diretamente em g(x)=x^{2}\bigl(x^{3}+3x^{-3}\bigr). A regra do produto diz que, para u(x)v(x),
\frac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'.
Tomando u(x)=x^{2} e v(x)=x^{3}+3x^{-3}:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=3x^{2}-9x^{-4}.
Então
g'(x)=2x\bigl(x^{3}+3x^{-3}\bigr)+x^{2}\bigl(3x^{2}-9x^{-4}\bigr).
Fazendo as contas e simplificando os termos chega-se novamente a
g'(x)=5x^{4}-3x^{-2}.

Passo 6

Se quiser escrever g'(x) sem potências negativas, coloco em uma única fração com denominador x^{2}:
g'(x)=5x^{4}-3x^{-2}=\frac{5x^{6}-3}{x^{2}}.

Resposta

g'(x)=5x^{4}-3x^{-2}
g'(x)=\dfrac{5x^{6}-3}{x^{2}}

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