Determine a derivada de cada função a seguir:

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=√(ln(x²+1)). Isso envolve duas aplicações da regra da cadeia: primeiro para a raiz quadrada e depois para o logaritmo natural. Vamos usar também que (ln g(x))′=g′(x)/g(x) e (√u)′=u′/(2√u).

Passo 2

Identificamos as funções compostas: g(x)=ln(x²+1) e h(u)=√u. Pela regra da cadeia, f '(x)=h′(g(x))·g′(x).

Passo 3

Calculamos g′(x). Como g(x)=ln(x²+1), temos g′(x)=(x²+1)′/(x²+1)=2x/(x²+1).
Agora h′(u)=1/(2√u). Substituindo u=g(x)=ln(x²+1), temos h′(g(x))=1/[2√(ln(x²+1))].

Passo 4

Multiplicando as derivadas parciais,
f'(x)=h'(g(x))cdot g'(x)=12raizln(x^2+1)cdot2xx^2+1

Passo 5

Simplificando o 2 no numerador e denominador, obtemos
f'(x)=x(x^2+1),raizln(x^2+1)

Resposta

f'(x)=x(x^2+1),raizln(x^2+1)

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