Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=√(ln(x²+1)). Isso envolve duas aplicações da regra da cadeia: primeiro para a raiz quadrada e depois para o logaritmo natural. Vamos usar também que (ln g(x))′=g′(x)/g(x) e (√u)′=u′/(2√u).
Passo 2
Identificamos as funções compostas: g(x)=ln(x²+1) e h(u)=√u. Pela regra da cadeia, f '(x)=h′(g(x))·g′(x).
Passo 3
Calculamos g′(x). Como g(x)=ln(x²+1), temos g′(x)=(x²+1)′/(x²+1)=2x/(x²+1).
Agora h′(u)=1/(2√u). Substituindo u=g(x)=ln(x²+1), temos h′(g(x))=1/[2√(ln(x²+1))].
Agora h′(u)=1/(2√u). Substituindo u=g(x)=ln(x²+1), temos h′(g(x))=1/[2√(ln(x²+1))].
Passo 4
Multiplicando as derivadas parciais,
Passo 5
Simplificando o 2 no numerador e denominador, obtemos