Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=e^2 x arctg(3 x)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=e^2xarctg(3x). O conteúdo é derivação de produto de uma exponencial e uma função trigonométrica inversa. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos as duas partes do produto: u(x)=e^2x e v(x)=arctg(3x). A regra do produto nos diz que f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte aplicando a regra da cadeia. Para u(x)=e^2x, temos u'(x)=2e^2x. Para v(x)=arctg(3x), a derivada da arctg é 1/(1+(3x)^2) e a derivada de 3x é 3, logo v'(x)=31+9x^2.

Passo 4

Substituímos na regra do produto e fatoramos e^2x. Assim:
f'(x)=e^2xl(2arctg(3x)+31+9x^2r)

Resposta

f’(x)=e{2x}\Bigl(2\operatorname{arctg}(3x)+\frac{3}{1+9x2}\Bigr)

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