Encontre o momento de inércia sobre o eixo x e o momento polar de inércia sobre a origem de um disco fino delimitado pelo círculo x^2+y^2=a^2 se a densidade do disco no ponto (x, y) for de uma constante.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o momento de inércia em relação ao eixo x, isto é I_x , e o momento polar de inércia em relação à origem, J_O , de um disco fino de raio a cuja densidade é δ(x,y)=k(x²+y²). O conteúdo aqui é momento de inércia por meio de integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar usar a relação dm=δ(x,y)dA e a passagem para polares.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares: x=r cosθ, y=r sinθ, a área elementar é dA=r
dr
dθ, e a densidade vira δ=k
r². Então dm=δ
da=k
r²·r
dr
dθ=k

dr
dθ. Nos interessa I_x=∬_D y²
dm e J_O=∬_D (x²+y²)
dm.

Passo 3

Para calcular I_x fazemos
Ix=integral duplaD y^2,dm=integral0^2piintegral0^a(rsintheta)^2l(k,r^3r),dr,dtheta
Dentro da integral se agrupa r: (r
sinθ)²·r³=r^5
sin²θ. Então
Ix=kintegral0^2pisin^2theta,dthetaintegral0^ar^5,dr
Sabemos que integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi e integral0^ar^5,dr=tfraca^66. Logo
Ix=kcdotpicdota^66=pi k a^66

Passo 4

Agora, o momento polar de inércia em relação à origem é
JO=integral duplaD(x^2+y^2),dm=integral duplaD r^2l(k,r^3r),dr,dtheta =kintegral0^2pidthetaintegral0^ar^5,dr
Aqui integral0^2pidtheta=2pi e integral0^ar^5,dr=tfraca^66. Então
JO=kcdot2picdota^66=pi k a^63

Resposta

I_x=\frac{\pi k a^6}{6},\quad J_O=\frac{\pi k a^6}{3}

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