Encontre o momento de inércia sobre o eixo
e o momento polar de inércia sobre a origem de um disco fino delimitado pelo círculo
se a densidade do disco no ponto
for
uma constante.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o momento de inércia em relação ao eixo x, isto é I_x , e o momento polar de inércia em relação à origem, J_O , de um disco fino de raio a cuja densidade é δ(x,y)=k(x²+y²). O conteúdo aqui é momento de inércia por meio de integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar usar a relação dm=δ(x,y)dA e a passagem para polares.
Passo 2
Passamos para coordenadas polares: x=r cosθ, y=r sinθ, a área elementar é dA=r
dr
dθ, e a densidade vira δ=k
r². Então dm=δ
da=k
r²·r
dr
dθ=k
r³
dr
dθ. Nos interessa I_x=∬_D y²
dm e J_O=∬_D (x²+y²)
dm.
dr
dθ, e a densidade vira δ=k
r². Então dm=δ
da=k
r²·r
dr
dθ=k
r³
dr
dθ. Nos interessa I_x=∬_D y²
dm e J_O=∬_D (x²+y²)
dm.
Passo 3
Para calcular I_x fazemos
Dentro da integral se agrupa r: (r
sinθ)²·r³=r^5
sin²θ. Então
Sabemos que
e
. Logo
Passo 4
Agora, o momento polar de inércia em relação à origem é
Aqui
Resposta
I_x=\frac{\pi k a^6}{6},\quad J_O=\frac{\pi k a^6}{3}