Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=ln (2 x) arcsen(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln(2x),arcsinl(x^2r)
Aqui vamos usar a regra do produto (derivada de ucdot v) e, em cada parte, a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos
u(x)=ln(2x), v(x)=arcsinl(x^2r)
Então
f(x)=u(x),v(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como
ln(2x)=ln2+ln x,
temos
u'(x)=ddxln x=1x

Passo 4

Calculamos v'(x). Para
arcsin(z) com z=x^2, a derivada é
l(arcsin(z)r)'=z'raiz1-z^2.
Aqui z=x^2 e z'=2x, logo
v'(x) =2xraiz,1-(x^2)^2, =2xraiz1-x^4

Passo 5

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v', obtemos
f'(x) =1x,arcsinl(x^2r) +ln(2x),2xraiz1-x^4

Resposta

f'(x) =arcsinl(x^2r)x +2x,ln(2x)raiz1-x^4

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