Prove que:
lim n infty(1n^2+2n^2+ldots+nn^2)=12.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência
an = 1n^2 + 2n^2 + cdots + nn^2
quando ntoinfty. O conteúdo aqui é soma de progressão aritmética e propriedades de limite de sequência. Vamos precisar da fórmula da soma dos n primeiros inteiros e da regra de limite para soma e quociente.

Passo 2

Escrevemos a soma de forma compacta:
an = sumk=1^n kn^2 = 1n^2sumk=1^nk

Passo 3

Usando a fórmula da soma dos n primeiros inteiros,
sumk=1^nk = n(n+1)2,
temos
an = 1n^2cdotn(n+1)2 = n(n+1)2n^2 = n+12n

Passo 4

Agora calculamos o limite usando propriedades de limite de quociente de polinômios:
limntoinftyan = limntoinftyn+12n = limntoinftyl(n2n + 12nr) = 12 + 0 = 12

Resposta

limntoinftyl(tfrac1n^2+tfrac2n^2+cdots+tfracnn^2r) = 12

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