Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=x \operatorname{arccos} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\,\operatorname{arccos} x.
Para isso vamos usar a regra do produto de funções e a fórmula da derivada de \operatorname{arccos} x, que é válida para x\in(-1,1):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Passo 2

Defina
u(x)=x,\quad v(x)=\operatorname{arccos} x.
Então
u'(x)=1 \quad\text{e}\quad v'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto, \bigl(u\,v\bigr)'=u'\,v+u\,v', obtemos
f'(x) =1\cdot\operatorname{arccos} x + x\cdot\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\Bigr) =\operatorname{arccos} x -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{arccos} x-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}.

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