Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\log _{2} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \log_{2}\bigl(\cos x\bigr).
O conteúdo principal aqui é derivação de funções compostas usando regra da cadeia e a fórmula de mudança de base de logaritmos. Vamos precisar usar
  1. \displaystyle \log_{a}(u)=\frac{\ln(u)}{\ln(a)}
  2. A derivada de \ln(u) é \tfrac{u'}{u}.

Passo 2

Aplicamos a mudança de base para escrever f em termos de logaritmo natural:
f(x) =\log_{2}\bigl(\cos x\bigr) =\frac{\ln\bigl(\cos x\bigr)}{\ln 2}.

Passo 3

Como \ln 2 é constante, a derivada fica
f'(x) =\frac{1}{\ln 2}\,\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\cos x)\bigr].
Agora usamos regra da cadeia na parte \ln(\cos x):
\frac{d}{dx}\ln(\cos x) =\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) =\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x) =-\tan x.

Passo 4

Substituindo de volta em f'(x):
f'(x) =\frac{1}{\ln 2}\,(-\tan x) =-\frac{\tan x}{\ln 2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{\tan x}{\ln 2}.

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