Utilizando derivação implícita, determine \frac{d y}{d x} :
e^{\cos x}+e^{\operatorname{sen} y}=\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
e^{\cos x} + e^{\operatorname{sen} y} = \tfrac14
e pede \tfrac{dy}{dx}. O conteúdo aqui é derivação implícita de funções exponenciais compostas, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Para o termo e^{\cos x}, aplicamos regra da cadeia: a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\,u'(x). Aqui u(x)=\cos x e u'(x)=-\sin x. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\cos x}\bigr) = e^{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\sin x\,e^{\cos x}.

Passo 3

Para o termo e^{\operatorname{sen} y}, tratamos y como função de x. Se v(y)=\operatorname{sen} y, então v'(y)=\cos y e por regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\operatorname{sen} y}\bigr) = e^{\operatorname{sen} y}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} y) = e^{\operatorname{sen} y}\cdot(\cos y)\,\frac{dy}{dx}.

Passo 4

A derivada do lado direito, \tfrac14, é zero. Somando tudo:
-\sin x\,e^{\cos x} + e^{\operatorname{sen} y}\cos y\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 5

Isolando \tfrac{dy}{dx}, temos
e^{\operatorname{sen} y}\cos y\,\frac{dy}{dx} = \sin x\,e^{\cos x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x\,e^{\cos x}}{e^{\operatorname{sen} y}\cos y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x\,e^{\cos x}}{e^{\operatorname{sen} y}\cos y}.

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