Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{argcosh}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f dada por
f(x)=\operatorname{argcosh}\!\bigl(e^{x}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma composição: primeiro calcula-se u(x)=e^{x} e depois aplica-se \operatorname{argcosh} em u.
  • Para que \operatorname{argcosh}(u) seja real é necessário u\ge 1. Como u(x)=e^{x}, isso implica e^{x}\ge 1, ou seja x\ge 0. Portanto a função está definida (como função real) para x\ge 0.
  • A derivada que vamos obter só será finita para x>0 (em x=0 a expressão resultante tem denominador zero — veremos isso adiante).

Passo 2

Regra da cadeia (ideia central para composições): se uma função F é composta como F(x)=G(H(x)), então a derivada é
F'(x)=G'\bigl(H(x)\bigr)\cdot H'(x).
Aqui aplicamos essa regra com G=\operatorname{argcosh} e H(x)=e^{x}. Ou seja, precisaremos da derivada de \operatorname{argcosh}(u) em função de u, e da derivada de u=e^{x}.

Passo 3

Derivada da exponencial: a função u(x)=e^{x} tem derivada
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isto é direto: a exponencial é igual à sua própria derivada.

Passo 4

Derivada de \operatorname{argcosh}(u) em relação a u: usar a definição inversa e diferenciação implícita.
Defina y=\operatorname{argcosh}(u). Por definição de função inversa, isso significa
\operatorname{cosh}(y)=u.
Derivando ambos os lados em relação a u (tratando y como função de u) obtemos, pela regra da cadeia,
\operatorname{sinh}(y)\,\frac{dy}{du}=1.
Logo
\frac{dy}{du}=\frac{1}{\operatorname{sinh}(y)}.
Agora escrevemos \operatorname{sinh}(y) em termos de u. Usando a identidade hiperbólica \operatorname{sinh}^{2}(y)=\operatorname{cosh}^{2}(y)-1 e \operatorname{cosh}(y)=u, temos
\operatorname{sinh}(y)=\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}(y)-1}=\sqrt{u^{2}-1},
onde escolhemos o sinal positivo da raiz porque, para a ramo principal de \operatorname{argcosh}, tem-se y\ge 0 e assim \operatorname{sinh}(y)\ge 0. Portanto
\frac{d}{du}\operatorname{argcosh}(u)=\frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}.
(Alternativamente pode-se escrever \dfrac{1}{\sqrt{u-1}\sqrt{u+1}}, que é equivalente para u>1.)

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia com u(x)=e^{x}. Temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{argcosh}\bigl(e^{x}\bigr) =\left.\frac{d}{du}\operatorname{argcosh}(u)\right|_{u=e^{x}}\cdot \frac{d}{dx}e^{x}.
Substituindo as derivadas encontradas:
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{\bigl(e^{x}\bigr)^{2}-1}}\cdot e^{x} =\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}.
Observações sobre domínio e regularidade: como mencionado no Passo 1, a função está definida para x\ge 0. A derivada acima é finita para x>0 (pois então e^{2x}-1>0). Em x=0 o denominador se anula e a derivada tende ao infinito direito — logo a função não é diferenciável em x=0 no sentido de derivada finita.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2x}-1}},\qquad x>0.

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