Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada. Informações claras:
- Função:
. - Objetivo: calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Relembrando a definição e a derivada da função hiperbólica seno (
, equivalente a
). Pela definição em termos de exponenciais:
Derivando em relação a
:
Portanto, regra fundamental que vamos usar:
Aqui
é a função hiperbólica cosseno definida por
.
Passo 3
Explicando a regra da cadeia de forma simples e prática. Se uma função
é composta,
, a derivada é dada por:
Significado das partes:
-
é a função interior (a “substituição”), -
é a função exterior, -
é a derivada da parte exterior avaliada na interior, -
é a derivada da parte interior.
Exemplo rápido: para, tem-se .
Passo 4
Aplicando ao nosso problema. Identificamos a composição:
- Função exterior
. - Função interior
.
Calculamos a derivada da parte interior:
Já sabemos pela Passo 2 que a derivada da parte exterior é
.
Passo 5
Agora usamos a regra da cadeia:
Substituindo
:
Comentário final: essa expressão está definida para todo
, pois
é definida em toda a reta real. Força aí — essa derivada aparece direto em provas e exercícios!