Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{senh}\left(x^{2}+5\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada. Informações claras:
  • Função: f(x)=\operatorname{senh}\!\bigl(x^{2}+5\bigr).
  • Objetivo: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando a definição e a derivada da função hiperbólica seno ( \operatorname{senh}, equivalente a \operatorname{sinh}). Pela definição em termos de exponenciais:
\operatorname{senh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Derivando em relação a t:
\frac{d}{dt}\operatorname{senh}(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\right) =\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}=\operatorname{cosh}(t).
Portanto, regra fundamental que vamos usar:
\frac{d}{dt}\operatorname{senh}(t)=\operatorname{cosh}(t).
Aqui \operatorname{cosh}(t) é a função hiperbólica cosseno definida por \operatorname{cosh}(t)=\dfrac{e^{t}+e^{-t}}{2}.

Passo 3

Explicando a regra da cadeia de forma simples e prática. Se uma função F é composta, F(x)=g(h(x)), a derivada é dada por:
F'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Significado das partes:
  • h(x) é a função interior (a “substituição”),
  • g(t) é a função exterior,
  • g'\bigl(h(x)\bigr) é a derivada da parte exterior avaliada na interior,
  • h'(x) é a derivada da parte interior.
    Exemplo rápido: para G(x)=\sin(3x), tem-se G'(x)=\cos(3x)\cdot 3.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema. Identificamos a composição:
  • Função exterior g(t)=\operatorname{senh}(t).
  • Função interior h(x)=x^{2}+5.
Calculamos a derivada da parte interior:
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+5\bigr)=2x.
Já sabemos pela Passo 2 que a derivada da parte exterior é g'(t)=\operatorname{cosh}(t).

Passo 5

Agora usamos a regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x)=\operatorname{cosh}\bigl(h(x)\bigr)\cdot 2x.
Substituindo h(x)=x^{2}+5:
f'(x)=2x\,\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}+5\bigr).
Comentário final: essa expressão está definida para todo x\in\mathbb{R}, pois \operatorname{cosh} é definida em toda a reta real. Força aí — essa derivada aparece direto em provas e exercícios!

Resposta

f'(x)=2x\,\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}+5\bigr)

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