Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{tg}(3 x) \cdot \operatorname{senh} x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\operatorname{tg}(3x)\cdot\operatorname{senh}x.
Informações dadas:
  • A função é produto de duas funções: uma é \operatorname{tg}(3x) e a outra é \operatorname{senh}x.
  • Deve-se encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Escolhemos aplicar a regra do produto porque f(x) é produto de duas funções. A regra do produto diz:
\text{Se }f(x)=u(x)\,v(x)\text{ então }f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Aqui podemos tomar
u(x)=\operatorname{tg}(3x),\qquad v(x)=\operatorname{senh}x.
No próximo passo vamos calcular u'(x) e v'(x).

Passo 3

Calcular u'(x). Usamos a regra da cadeia porque u(x)=\operatorname{tg}(3x) é uma composição da função \operatorname{tg}(u) com u=3x. A regra da cadeia afirma:
\frac{d}{dx}\big(g(h(x))\big)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Sabemos também que a derivada da tangente é
\frac{d}{du}\operatorname{tg}u=\operatorname{sec}^2 u.
Aplicando a cadeia com u=3x:
u'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(3x)=\operatorname{sec}^2(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x).
Como \dfrac{d}{dx}(3x)=3, obtemos
u'(x)=3\operatorname{sec}^2(3x).

Passo 4

Calcular v'(x). Lembrando a definição das funções hiperbólicas:
\operatorname{senh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{cosh}x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Derivando \operatorname{senh}x termo a termo:
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{senh}x=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\operatorname{cosh}x.

Passo 5

Agora voltamos à regra do produto e substituímos u'(x), u(x), v'(x) e v(x):
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=\big(3\operatorname{sec}^2(3x)\big)\cdot\operatorname{senh}x+\operatorname{tg}(3x)\cdot\operatorname{cosh}x.
Podemos reescrever numa ordem mais natural:
f'(x)=3\operatorname{sec}^2(3x)\,\operatorname{senh}x+\operatorname{tg}(3x)\,\operatorname{cosh}x.

Resposta

f'(x)=3\operatorname{sec}^2(3x)\,\operatorname{senh}x+\operatorname{tg}(3x)\,\operatorname{cosh}x

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