Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é a composição da função (inversa da função seno hiperbólico) com a função linear
. A pergunta é: qual é
?
Informações dadas: a função é a composição da função
Passo 2
Entendendo o que é
. Vou explicar de forma direta e sem mistério:
- Definição (equivalente): se
então, por definição de função inversa, vale
- Lembrete sobre
e : não preciso usar suas fórmulas exponenciais para derivar, só preciso saber que
A segunda identidade é muito útil para escrever
em função de
.
Passo 3
Derivando implicitamente (a técnica): suponha que
. Pela definição temos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
e usando a regra da cadeia, obtém-se
Isolando
,
Agora preciso escrever
em termos de
. Como
, uso a identidade hiperbólica:
(Escolhe-se o sinal positivo da raiz porque
é sempre positivo.) Portanto
Essa é a fórmula geral — é a mesma ideia da derivada de
mas com sinal e parenteses diferentes por causa das funções hiperbólicas.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: aqui
. Então
e
. Substituindo na fórmula geral:
Passo 5
Observações finais e checagem rápida:
- O domínio de
é todo , logo não há problema em avaliar em qualquer . - A derivada faz sentido para todo
e é positiva (porque numerador e denominador são positivos), o que condiz com a ideia de que é crescente.