Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{argsenh}(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{argsenh}(3x).
Informações dadas: a função é a composição da função \operatorname{argsenh} (inversa da função seno hiperbólico) com a função linear 3x. A pergunta é: qual é f'(x)?

Passo 2

Entendendo o que é \operatorname{argsenh}. Vou explicar de forma direta e sem mistério:
  • Definição (equivalente): se y=\operatorname{argsenh}(u) então, por definição de função inversa, vale
\operatorname{sinh}(y)=u.
  • Lembrete sobre \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}: não preciso usar suas fórmulas exponenciais para derivar, só preciso saber que
\frac{d}{dy}\operatorname{sinh}(y)=\operatorname{cosh}(y) \qquad\text{e}\qquad \operatorname{cosh}^{2}(y)-\operatorname{sinh}^{2}(y)=1.
A segunda identidade é muito útil para escrever \operatorname{cosh}(y) em função de \operatorname{sinh}(y).

Passo 3

Derivando implicitamente (a técnica): suponha que y(x)=\operatorname{argsenh}(u(x)). Pela definição temos \operatorname{sinh}(y(x))=u(x). Diferenciando ambos os lados em relação a x e usando a regra da cadeia, obtém-se
\operatorname{cosh}(y(x))\cdot y'(x)=u'(x).
Isolando y'(x),
y'(x)=\frac{u'(x)}{\operatorname{cosh}(y(x))}.
Agora preciso escrever \operatorname{cosh}(y(x)) em termos de u(x). Como \operatorname{sinh}(y(x))=u(x), uso a identidade hiperbólica:
\operatorname{cosh}(y(x))=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(y(x))}=\sqrt{1+u(x)^{2}}.
(Escolhe-se o sinal positivo da raiz porque \operatorname{cosh} é sempre positivo.) Portanto
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{argsenh}(u(x))\big)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1+u(x)^{2}}}.
Essa é a fórmula geral — é a mesma ideia da derivada de \operatorname{arcsin} mas com sinal e parenteses diferentes por causa das funções hiperbólicas.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: aqui u(x)=3x. Então u'(x)=3 e u(x)^{2}=(3x)^{2}=9x^{2}. Substituindo na fórmula geral:
f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1+9x^{2}}}.

Passo 5

Observações finais e checagem rápida:
  • O domínio de \operatorname{argsenh} é todo \mathbb{R}, logo não há problema em avaliar em qualquer x\in\mathbb{R}.
  • A derivada faz sentido para todo x e é positiva (porque numerador e denominador são positivos), o que condiz com a ideia de que \operatorname{argsenh} é crescente.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1+9x^{2}}}

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