Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral
Informações fornecidas:
- A integranda é uma função racional com um quadrado de um polinômio quadrático no denominador.
- Preciso encontrar uma primitiva (a integral indefinida), isto é, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: completar o quadrado para simplificar o denominador e facilitar uma substituição. Para o polinômio do denominador:
Faço a substituição
, portanto
. A integral passa a ser
Passo 3
Agora vou atacar a integral genérica
e depois usarei
. Uma observação útil é a derivada da função
. Calculando:
Isso sugere decompor
como combinação de
e de
. Escrevo:
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Agrupando coeficientes de
e dos termos constantes:
Igualando coeficientes ao polinômio constante
(ou seja, coeficiente de
é
e constante é
) obtenho o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Passo 4
Com esses
e
escrevo a integral como soma de duas partes fáceis:
A primeira integral do lado direito é simplesmente a integral da derivada que calculei no passo anterior:
A segunda integral é a conhecida primitiva da função inversa do quadrado somado a constante:
Juntando os termos:
Simplificando:
Passo 5
Volto ao nosso caso específico:
e
. Substituindo na fórmula obtida:
Calculando os números
e
e voltando a
: