\int \frac{d x}{\left(x^{2}+4 x+13\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+4x+13\right)^{2}}.
Informações fornecidas:
  • A integranda é uma função racional com um quadrado de um polinômio quadrático no denominador.
  • Preciso encontrar uma primitiva (a integral indefinida), isto é, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: completar o quadrado para simplificar o denominador e facilitar uma substituição. Para o polinômio do denominador:
x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9.
Faço a substituição \,u=x+2, portanto \,du=dx. A integral passa a ser
\int \frac{du}{\left(u^{2}+9\right)^{2}}.

Passo 3

Agora vou atacar a integral genérica
\int \frac{du}{\left(u^{2}+a^{2}\right)^{2}},
e depois usarei a=3. Uma observação útil é a derivada da função \dfrac{u}{u^{2}+a^{2}}. Calculando:
\frac{d}{du}\left(\frac{u}{u^{2}+a^{2}}\right) = \frac{(u^{2}+a^{2}) - u\cdot 2u}{(u^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{a^{2}-u^{2}}{(u^{2}+a^{2})^{2}}.
Isso sugere decompor \dfrac{1}{(u^{2}+a^{2})^{2}} como combinação de \dfrac{a^{2}-u^{2}}{(u^{2}+a^{2})^{2}} e de \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}. Escrevo:
\frac{1}{(u^{2}+a^{2})^{2}}=\alpha\cdot\frac{a^{2}-u^{2}}{(u^{2}+a^{2})^{2}}+\beta\cdot\frac{1}{u^{2}+a^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (u^{2}+a^{2})^{2} obtém-se
1=\alpha\,(a^{2}-u^{2})+\beta\,(u^{2}+a^{2}).
Agrupando coeficientes de u^{2} e dos termos constantes:
1 = (\,-\alpha+\beta\,)u^{2} + a^{2}(\,\alpha+\beta\,).
Igualando coeficientes ao polinômio constante 1 (ou seja, coeficiente de u^{2} é 0 e constante é 1) obtenho o sistema
-\alpha+\beta=0,\qquad a^{2}(\alpha+\beta)=1.
Da primeira equação vem \beta=\alpha. Substituindo na segunda:
a^{2}(2\alpha)=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{1}{2a^{2}},\qquad \beta=\frac{1}{2a^{2}}.

Passo 4

Com esses \alpha e \beta escrevo a integral como soma de duas partes fáceis:
\int \frac{du}{(u^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{1}{2a^{2}}\int \frac{a^{2}-u^{2}}{(u^{2}+a^{2})^{2}}\,du + \frac{1}{2a^{2}}\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}.
A primeira integral do lado direito é simplesmente a integral da derivada que calculei no passo anterior:
\int \frac{a^{2}-u^{2}}{(u^{2}+a^{2})^{2}}\,du = \int \frac{d}{du}\!\left(\frac{u}{u^{2}+a^{2}}\right)\,du = \frac{u}{u^{2}+a^{2}}.
A segunda integral é a conhecida primitiva da função inversa do quadrado somado a constante:
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right).
Juntando os termos:
\int \frac{du}{(u^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{1}{2a^{2}}\cdot\frac{u}{u^{2}+a^{2}} + \frac{1}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + C.
Simplificando:
\int \frac{du}{(u^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{u}{2a^{2}(u^{2}+a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + C.

Passo 5

Volto ao nosso caso específico: a=3 e u=x+2. Substituindo na fórmula obtida:
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+4x+13\right)^{2}} = \int \frac{du}{\left(u^{2}+9\right)^{2}} = \frac{u}{2\cdot 3^{2}\,(u^{2}+9)} + \frac{1}{2\cdot 3^{3}}\arctan\!\left(\frac{u}{3}\right) + C.
Calculando os números 2\cdot 3^{2}=18 e 2\cdot 3^{3}=54 e voltando a x:
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+4x+13\right)^{2}} = \frac{x+2}{18\bigl((x+2)^{2}+9\bigr)} + \frac{1}{54}\arctan\!\left(\frac{x+2}{3}\right) + C.

Resposta

\frac{x+2}{18\bigl((x+2)^{2}+9\bigr)}+\frac{1}{54}\arctan\!\left(\frac{x+2}{3}\right)+C

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