Determine a derivada de cada função a seguir:
(f(x)=\frac{\operatorname{sen}\left(3 x{2}-5\right)}{e{2 x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=sin(3x^2-5)e^2x. Vamos usar as regras de derivação de funções compostas (regra da cadeia) e produtos/quocientes.

Passo 2

Para simplificar a aplicação das regras, reescrevemos f(x) como produto: f(x)=sin(3x^2-5)cdot e^-2x Assim evitamos o quociente.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto: sendo u(x)=sin(3x^2-5) e v(x)=e^-2x, então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 4

Calcular u'(x) usando a regra da cadeia: u(x)=sin(w) com w=3x^2-5. Temos w'=6x e (sin w)'=cos w, logo u'(x)=cos(3x^2-5)cdot6x=6xcos(3x^2-5)

Passo 5

Calcular v'(x): v(x)=e^-2x. A derivada é (v’(x)=e{-2x}\cdot(-2)=-2e{-2x}.]

Passo 6

Substituir em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x):
f'(x)=l(6xcos(3x^2-5)r)e^-2x+l(sin(3x^2-5)r)(-2e^-2x)

Passo 7

Fatorando e^-2x em evidência:
f'(x)=e^-2xl(6xcos(3x^2-5)-2sin(3x^2-5)r)

Resposta

f'(x)=e^-2xl(6xcos(3x^2-5)-2sin(3x^2-5)r)

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