Determine a derivada de cada função.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a derivada da função
.
Informações dadas: a função é para variável real
.
Objetivo final: encontrar (ou
) em função de
.
Informações dadas: a função é
Objetivo final: encontrar
Passo 2
Definição de derivada (a ferramenta que vamos usar). A derivada de uma função
em um ponto
é o limite
Aqui
é um incremento pequeno em
. Essa definição mede a taxa de variação instantânea de
em
.
Passo 3
Aplicando a definição à função
:
Passo 4
Usar a fórmula de adição para o seno:
. Substituindo:
Agrupando termos:
Passo 5
Usar a linearidade do limite (se os limites existem, o limite da soma é a soma dos limites e constantes saem do limite). Assim precisamos calcular os dois limites clássicos
Passo 6
Cálculo de
. Para
vale a desigualdade geométrica
. Dividindo por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Ao fazermos
temos
, então pelo princípio do sanduíche (squeeze theorem) segue que
Como
é uma função par em relação a troca de sinal de
(o limite lateral esquerdo coincide), concluímos
Passo 7
Cálculo de
. Usar a identidade
. Então
À medida que
tem-se
(pelo mesmo limite do passo anterior), portanto o fator final
. Assim
Passo 8
Voltar à expressão da derivada e substituir
e
:
Portanto a derivada de
é
. Um checape rápido: em
temos
.