Determine a derivada de cada função.
y=\operatorname{sen} x

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a derivada da função \,y=\operatorname{sen} x\,.
Informações dadas: a função é \,y=\operatorname{sen} x\, para variável real x.
Objetivo final: encontrar \dfrac{dy}{dx} (ou y') em função de x.

Passo 2

Definição de derivada (a ferramenta que vamos usar). A derivada de uma função y=f(x) em um ponto x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um incremento pequeno em x. Essa definição mede a taxa de variação instantânea de f em x.

Passo 3

Aplicando a definição à função \,f(x)=\operatorname{sen} x\,:
\begin{aligned} \frac{d}{dx}\operatorname{sen} x &= \lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}x}{h}. \end{aligned}

Passo 4

Usar a fórmula de adição para o seno: \operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h. Substituindo:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x = \lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h-\operatorname{sen}x}{h}.
Agrupando termos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x = \lim_{h\to0}\left(\operatorname{sen}x\cdot\frac{\cos h-1}{h} \;+\; \cos x\cdot\frac{\operatorname{sen}h}{h}\right).

Passo 5

Usar a linearidade do limite (se os limites existem, o limite da soma é a soma dos limites e constantes saem do limite). Assim precisamos calcular os dois limites clássicos
L_1=\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}, \qquad L_2=\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}.

Passo 6

Cálculo de L_1. Para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica \operatorname{sen}h < h < \tan h. Dividindo por \operatorname{sen}h (positivo nesse intervalo) obtemos
\cos h < \frac{\operatorname{sen}h}{h} < 1.
Ao fazermos h\to0^+ temos \cos h\to1, então pelo princípio do sanduíche (squeeze theorem) segue que
\lim_{h\to0^+}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1.
Como \dfrac{\operatorname{sen}h}{h} é uma função par em relação a troca de sinal de h (o limite lateral esquerdo coincide), concluímos
L_1=\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1.

Passo 7

Cálculo de L_2. Usar a identidade \cos h-1 = -2\sin^2\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr). Então
\frac{\cos h-1}{h} = -2\cdot\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h} = -2\left(\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{\tfrac{h}{2}}\right)^{\!2}\cdot\frac{h}{4}.
À medida que h\to0 tem-se \dfrac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}\to1 (pelo mesmo limite do passo anterior), portanto o fator final \dfrac{h}{4}\to0. Assim
L_2=\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 8

Voltar à expressão da derivada e substituir L_1 e L_2:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}x\cdot 0 \;+\; \cos x\cdot 1 = \cos x.
Portanto a derivada de \operatorname{sen}x é \cos x. Um checape rápido: em x=\tfrac{\pi}{6} temos y'(\tfrac{\pi}{6})=\cos(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\dfrac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x

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