Determine a derivada de cada função.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
. As informações dadas são:
- A função é
. - Usarei a relação que expressa a cosecante em termos do seno:
.
O objetivo é calculare indicar onde essa derivada está definida.
Passo 2
Reescrevo a função de uma forma que facilita aplicar regras de derivação:
Passo 3
Vou usar a regra da cadeia junto com a regra de potência. Lembrete prático:
- Se
com e constante, então
Aqui escolho
e
. Também preciso da derivada básica
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo anterior com
e
:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Agora simplifico a expressão usando razões trigonométricas conhecidas:
Então
Passo 6
(Verificação alternativa — regra do quociente) Aplicando a regra do quociente a
(numerador
, denominador
):
que coincide com o resultado anterior e se simplifica para
.
Passo 7
Domínio da derivada: a expressão final tem denominador
, portanto a derivada só existe onde
. Logo
está definida para
,
.