Determine a derivada de cada função.
y=\operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função \operatorname{cossec} x. As informações dadas são:
  • A função é y=\operatorname{cossec} x.
  • Usarei a relação que expressa a cosecante em termos do seno: \operatorname{cossec} x=\dfrac{1}{\sin x}.
    O objetivo é calcular y'=\dfrac{dy}{dx} e indicar onde essa derivada está definida.

Passo 2

Reescrevo a função de uma forma que facilita aplicar regras de derivação:
y=\operatorname{cossec} x=\dfrac{1}{\sin x}=(\sin x)^{-1}.

Passo 3

Vou usar a regra da cadeia junto com a regra de potência. Lembrete prático:
  • Se y=u^{n} com u=u(x) e n constante, então
\dfrac{dy}{dx}=n\,u^{\,n-1}\dfrac{du}{dx}.
Aqui escolho u(x)=\sin x e n=-1. Também preciso da derivada básica
\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo anterior com u=\sin x e n=-1:
\dfrac{dy}{dx} = -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\dfrac{d}{dx}(\sin x).
Substituindo \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x obtemos
\dfrac{dy}{dx} = -(\sin x)^{-2}\cos x = -\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}.

Passo 5

Agora simplifico a expressão usando razões trigonométricas conhecidas:
  • \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}
  • \csc x=\dfrac{1}{\sin x}
Então
-\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x} = -\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)\left(\dfrac{1}{\sin x}\right) = -\cot x\csc x.

Passo 6

(Verificação alternativa — regra do quociente) Aplicando a regra do quociente a y=\dfrac{1}{\sin x} (numerador 1, denominador \sin x):
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{0\cdot\sin x - 1\cdot\cos x}{\sin^{2}x}=-\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x},
que coincide com o resultado anterior e se simplifica para -\cot x\csc x.

Passo 7

Domínio da derivada: a expressão final tem denominador \sin^{2}x, portanto a derivada só existe onde \sin x\neq 0. Logo y' está definida para x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\displaystyle y'=-\cot x\csc x

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