Mostre que se
e
(respect.
), então existe
tal que
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos uma sequência
em
que converge para
e um número real
tal que
(respectivamente
). Queremos mostrar que existe
tal que
(respectivamente
). Para isso usaremos a definição
–
de convergência de sequência.
Passo 2
Caso
, defina
Pela convergência de
a
, existe
tal que
Passo 3
Da desigualdade
segue
Somando
a cada termo e usando
obtemos
isto é,
Logo, para todo
vale
.
Passo 4
Caso
, procede-se de modo análogo: escolha
Da convergência existe
tal que
implica
. Seguindo os mesmos passos de soma, chega-se a
para todo
.
Resposta
Para
, basta tomar
obtido com
, e assim
.
Para , basta tomar
obtido com
, e então
.
Para