Mostre que se an L e L>M (respect. L<M ), então existe n0 in N tal que
n>n0 Rightarrow an>M ( respect n>n0 Rightarrow an<M)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma sequência (an) em R que converge para
limntoinftyan=L
e um número real M tal que L>M (respectivamente L<M). Queremos mostrar que existe n0inN tal que
n>n0;Rightarrow;an>M
(respectivamente an<M). Para isso usaremos a definição varepsilon N de convergência de sequência.

Passo 2

Caso L>M, defina
varepsilon = L - M > 0
Pela convergência de (an) a L, existe NinN tal que
n > N Longrightarrow |an-L| < varepsilon

Passo 3

Da desigualdade |an-L|<varepsilon segue
-varepsilon < an-L < varepsilon
Somando L a cada termo e usando varepsilon = L-M obtemos
L - (L - M) < an < L + (L - M),
isto é,
M < an
Logo, para todo n>N vale an>M.

Passo 4

Caso L<M, procede-se de modo análogo: escolha
varepsilon = M - L > 0
Da convergência existe N' tal que n > N' implica |an-L|<varepsilon. Seguindo os mesmos passos de soma, chega-se a
an < M
para todo n>N'.

Resposta

Para L>M, basta tomar n0=N obtido com varepsilon = L - M, e assim n>n0Rightarrow an>M.
Para L<M, basta tomar n0=N' obtido com varepsilon = M - L, e então n>n0Rightarrow an<M.

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