Determine a derivada de cada uma das funções abaixo, utilizando a definição f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
a) f(x)=x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^2+2x+1
usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos precisar expandir f(x+h), formar o quociente incremental e depois calcular o limite.

Passo 2

Calculemos primeiro f(x+h). Temos
f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)+1=x^2+2xh+h^2+2x+2h+1

Passo 3

Formamos a diferença
f(x+h)-f(x)=l(x^2+2xh+h^2+2x+2h+1r)-l(x^2+2x+1r) =2xh+h^2+2h
Então o quociente incremental é
f(x+h)-f(x)h =2xh+h^2+2hh =2x+h+2

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando hto0:
f'(x)=limhto0(2x+h+2)=2x+2

Resposta

f'(x)=2x+2

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