Calcule as seguintes integrais definidas:
integral-1^2 x(1+x^3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um polinômio, ou seja
integral-1^2 xl(1+x^3r),dx
Aqui vamos usar a linearidade da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F'(x)=f(x) então
integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a)

Passo 2

Primeiro expandimos o integrando usando distributividade:
xl(1+x^3r) = x + x^4
Pela linearidade da integral, temos
integral-1^2 xl(1+x^3r),dx = integral-1^2 x,dx + integral-1^2 x^4,dx

Passo 3

Agora encontramos uma antiderivada comum para x e x^4. Sabemos que
integral x,dx = x^22, integral x^4,dx = x^55,
logo uma antiderivada de x + x^4 é
F(x) = x^22 + x^55

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental, avaliamos F em x=2 e em x=-1:
F(2) = 2^22 + 2^55 = 42 + 325 = 2 + 325 = 10+325 = 425,
F(-1) = (-1)^22 + (-1)^55 = 12 - 15 = 5-210 = 310
Portanto
integral-1^2 xl(1+x^3r),dx = F(2)-F(-1) = 425 - 310 = 84-310 = 8110

Resposta

8110

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