Resolva, via mudança de variável dependente, a equação
y^prime prime+t(y^prime)^2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem
y'' + t,(y')^2 = 0
usando uma mudança de variável dependente. Aqui o conteúdo é redução de ordem de uma ODE de segunda ordem, definindo uma nova função para y' e transformando o problema numa equação de primeira ordem.

Passo 2

Definimos a nova variável dependente v(t) como
v(t) = y'(t)
Dessa forma, temos
y'' = dvdt,
e a equação original fica
dvdt + t,v^2 = 0

Passo 3

Agora temos uma equação de primeira ordem em v, que é separável. Escrevemos
dvdt = -,t,v^2 Longrightarrow dvv^2 = -,t,dt
Integramos ambos os lados:
integral dvv^2 = integral -,t,dt ;Longrightarrow; -,1v = -,t^22 + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

Isolando
onde . Logo
Para encontrar , integramos:
Dependendo do sinal de , essa integral dá arco-tangente (se ) ou logaritmo (se ). Mantendo genérico, escrevemos
onde (C_3] é outra constante de integração.]

Resposta

Se C2>0,
y(t)=2raizC2;arctan!l(traizC2r)+C3
Se C2<0,
y(t)=1raiz-C2;lnl|t-raiz-C2t+raiz-C2r|+C3

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