Questão 1
Valor: 0,80
Considere as Matrizes A=[cc-3 & 6 6 & -8], B=[ccc5 & 6 & 1 5 & 8 & 1], C=[cc1 & 2 0 & -5 5 & 30], D=[cc5 & 5 5 & 0], E=[ccc-7 & 1 & 0 -56 & 8 & 0 0 & 0 & 1], é CORRETO afirmar que:
A) (A^T) B=(B^T) A
B) B C-D=I
C) (A+D)(A-D)=A^2-D^2
D) Existe uma matriz L=[Li j]3 times 3 cujas entradas Li j são todas diferentes de zero, satisfazendo E L=0.
E) Existe uma matriz L=[Li j]3 times 3 satisfazendo E L=I, onde I é a matriz identidade de ordem 3 .

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=-3 & 6 [6pt]6 & -8, B=5 & 6 & 1 [3pt]5 & 8 & 1, C=1 & 2 [3pt]0 & -5 [3pt]5 & 30, D=5 & 5 [3pt]5 & 0, E=-7 & 1 & 0 [3pt]-56 & 8 & 0 [3pt]0 & 0 & 1
e pede qual das afirmações A)–E) é verdadeira. Vamos verificar cada uma.]

Passo 2

Verificando A) l(A^Tr)Bstackrel?=l(B^Tr)A.
Dimensionalmente l(A^Tr)B é 2times2 vezes 2times3, ou seja 2times3,
enquanto l(B^Tr)A é 3times2 vezes 2times2, ou seja 3times2.
São formas incompatíveis, então A) é falsa.

Passo 3

Verificando B) BC - D stackrel?= I (identidade 2times2).
Primeiro
BC = 5&6&15&8&11&20&-55&30 =10&1010&0
Logo
BC - D = 10&1010&0 -5&55&0 =5&55&0neq 1&00&1
Assim, B) é falsa.

Passo 4

Verificando C) (A+D)(A-D)stackrel?=A^2 - D^2.
Em geral (A+D)(A-D)=A^2 -D^2 + (DA-AD).
Calculando AD e DA nota-se que ADneq DA, logo o termo extra (DA-AD) não some.
Portanto C) é falsa.

Passo 5

Verificando D) “Existe LinR^3times3 com todas as entradas não nulas tal que E,L=0.”
A equação E,L=0 impõe que cada coluna de L esteja no núcleo de E.
Resolvend o sistema E,x=0 x3=0 e x2=7x1, isto é o núcleo é gerado por ,(1,7,0)^T.
Toda coluna de L tem 3º entrada zero, o que contradiz “todas as entradas não nulas”.
Logo D) é falsa.

Passo 6

Verificando E) “Existe LinR^3times3 tal que E,L=I3.”
Isso exigiria que E tivesse inversa à direita, ou seja posto de linhas igual a 3.
Mas rank(E)=2. Não há inversa à direita; portanto E) é falsa.

Resposta

Nenhuma das alternativas A), B), C), D) ou E) está correta.

Exercícios relacionados