Determine a derivada de cada uma das funções abaixo, utilizando a definição f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
b) f(x)=x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de f(x)=x^3+1 usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
O conteúdo é o cálculo de derivada pela definição (quociente incremental).

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental e expandimos f(x+h):
f(x+h)-f(x)h =l((x+h)^3+1r)-l(x^3+1r)h =(x+h)^3-x^3h
Desenvolvendo o cubo:
(x+h)^3=x^3+3x^2h+3x h^2+h^3,
logo o numerador fica
x^3+3x^2h+3x h^2+h^3-x^3 =3x^2h+3x h^2+h^3

Passo 3

Fatoramos h no numerador e simplificamos:
3x^2h+3x h^2+h^3h =3x^2+3x h+h^2

Passo 4

Agora aplicamos o limite hto0:
f'(x) =limhto0l(3x^2+3x h+h^2r) =3x^2

Resposta

f'(x)=3x^2

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