Prove que a série
é convergente se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, em função do parâmetro
, se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o Teste Integral para séries de termos positivos e monotônicos decrescentes.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que:
-
para todo . - A derivada
é negativa em , mostrando que é decrescente nesse intervalo.
Logo, podemos aplicar o Teste Integral: a sérieconverge se, e somente se,
for convergente.
Passo 3
Calculamos a integral
Fazemos a substituição
ou seja,
Quando
,
; e quando
,
.
Passo 4
Sob essa substituição, a integral vira
Mas sabemos que
converge exatamente quando
(é uma p-integral na forma
).
Resposta
A série
converge se, e somente se,