Prove que a série sumn=3^+infty 1n(ln n)[ln (ln n)]^p é convergente se e somente se p>1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, em função do parâmetro p, se a série
sumn=3^+infty1n,ln n,[ln(ln n)]^p
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o Teste Integral para séries de termos positivos e monotônicos decrescentes.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1x,ln x,[ln(ln x)]^p,
para x>=3. Note que:
  1. f(x)>0 para todo x>=3.
  2. A derivada f'(x) é negativa em [3,infty), mostrando que f é decrescente nesse intervalo.
    Logo, podemos aplicar o Teste Integral: a série sum an converge se, e somente se,
integral3^inftyf(x),dx
for convergente.

Passo 3

Calculamos a integral
integral3^inftydxx,ln x,[ln(ln x)]^p
Fazemos a substituição
t=ln(ln x), dt=1ln x,1x,dx,
ou seja,
dxx,ln x=dt
Quando x=3, t=ln(ln3); e quando xtoinfty, ttoinfty.

Passo 4

Sob essa substituição, a integral vira
integral3^inftydxx,ln x,[ln(ln x)]^p =integralln(ln3)^inftydtt^p
Mas sabemos que
integralA^inftyt^-p,dt
converge exatamente quando p>1 (é uma p-integral na forma integral t^-pdt).

Resposta

A série sumn=3^infty1n,ln n,[ln(ln n)]^p converge se, e somente se,
p>1

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