Determine a derivada de cada uma das seguintes funçōes nos pontos indicados:
a) f(x, y)=x^2+y^2 em(1,1)

Passo 1

A função dada é f(x,y)=x^2+y^2 e pedem a derivada (ou seja, o diferencial/gradiente) em (1,1). O conteúdo aqui é derivadas parciais e a construção do diferencial linear.

Passo 2

Para achar a derivada, primeiro calculamos as derivadas parciais. Lembrando que partialpartial x(x^2)=2x e partialpartial y(y^2)=2y, temos: partial fpartial x(x,y)=2x e partial fpartial y(x,y)=2y.

Passo 3

Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto (1,1): temos partial fpartial x(1,1)=2cdot1=2 e partial fpartial y(1,1)=2cdot1=2.

Passo 4

Por fim, escrevemos o diferencial ou o gradiente naquele ponto. O diferencial em (1,1) age num vetor de incrementos (h,k) como df(1,1)[h,k]=2h+2k, e o gradiente é nabla f(1,1)=(2,2).

Resposta

Gradiente em (1,1): nabla f(1,1)=(2,2). O diferencial é df(1,1)[h,k]=2h+2k.

Exercícios relacionados