Mostre, pela definiçĭlo, que as funçठ̄es abaixo sảo diferenciáveis em R^2.
c) f(x, y)=x^2 y;

Passo 1

A função em questão é f(x,y)=x^2y. O conteúdo é diferenciabilidade em ℝ^2, e vamos usar a definição que diz: f é diferenciável em (x0,y0) se existir um mapa linear L tal que o resto R(h,k)=f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−L(h,k) satisfaça R(h,k)/raizh^2+k^2→0 quando (h,k)→(0,0).

Passo 2

Para aplicar a definição, primeiro lembramos quais são as derivadas parciais de f. Temos:
f(x,y)=x^2y,
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partial fpartial x(x,y)=2x,y, partial fpartial y(x,y)=x^2

Passo 3

Em um ponto arbitrário (x0,y0), o mapa linear candidato é
L(h,k)=partial fpartial x(x0,y0),h + partial fpartial y(x0,y0),k = 2x0y0,h + x0^2,k

Passo 4

Agora calculamos f(x0+h,y0+k) e subtraímos f(x0,y0) e L(h,k).
f(x0+h,y0+k)=(x0+h)^2(y0+k)=x0^2y0 + x0^2k +2x0y0h +2x0h k +h^2y0 + h^2k
Subtraindo f(x0,y0)=x_0^2y_0 e L(h,k)=2x_0y_0h + x_0^2k, obtemos o resto:
R(h,k)=2x0h k + h^2y0 + h^2k

Passo 5

Precisamos mostrar que R(h,k)/raizh^2+k^2→0. Note que
|2x0h k|<= 2|x0|,|h|,|k|<= |x0|(h^2+k^2),
|h^2y0|<= |y0|(h^2+k^2),
|h^2k|<= |h|,|h k|<= raizh^2+k^2cdoth^2+k^22

Passo 6

Somando essas estimativas há uma constante C (dependendo de x0,y0) tal que
|R(h,k)|<= C,(h^2+k^2)
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|R(h,k)raizh^2+k^2|<= C,raizh^2+k^2to0 quando (h,k)to(0,0)

Passo 7

Isso mostra que o resto é de ordem menor que raizh^2+k^2, cumprindo a definição de diferenciabilidade.

Resposta

A função f(x,y)=x^2y é diferenciável em ℝ^2.

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