Mostre, pela definiçĭlo, que as funçठ̄es abaixo sảo diferenciáveis em .
c) ;
Passo 1
A função em questão é f(x,y)=x^2y. O conteúdo é diferenciabilidade em ℝ^2, e vamos usar a definição que diz: f é diferenciável em (x0,y0) se existir um mapa linear L tal que o resto R(h,k)=f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−L(h,k) satisfaça →0 quando (h,k)→(0,0).
Passo 2
Para aplicar a definição, primeiro lembramos quais são as derivadas parciais de f. Temos:
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Passo 3
Em um ponto arbitrário , o mapa linear candidato é
Passo 4
Agora calculamos f(x0+h,y0+k) e subtraímos f(x0,y0) e L(h,k).
Subtraindo f(x0,y0)=x_0^2y_0 e L(h,k)=2x_0y_0h + x_0^2k, obtemos o resto:
Passo 5
Precisamos mostrar que →0. Note que
Passo 6
Somando essas estimativas há uma constante C (dependendo de x0,y0) tal que
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Passo 7
Isso mostra que o resto é de ordem menor que raizh^2+k^2, cumprindo a definição de diferenciabilidade.