Determine a derivada:
(d) f(x)=x^2 e^arctan (2 x)

Passo 1

O enunciado dá f(x)=x^2 e^arctan(2x). Vamos usar a regra do produto, que diz que
ddxl(u(x)v(x)r)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
e também a regra da cadeia para funções compostas, em particular
ddxe^g(x)=e^g(x)g'(x), ddxarctanl(u(x)r)=u'(x)1+u(x)^2

Passo 2

Aplicando a regra do produto em f(x)=x^2cdot e^arctan(2x), obtemos
f'(x)=ddx(x^2)cdot e^arctan(2x) ;+; x^2cdotddxl(e^arctan(2x)r)

Passo 3

Como ddx(x^2)=2x, o primeiro termo fica
2x,e^arctan(2x)

Passo 4

No segundo termo, aplicamos a cadeia em e^arctan(2x):
ddxl(e^arctan(2x)r) = e^arctan(2x)cdotddxl(arctan(2x)r) = e^arctan(2x)cdot21+(2x)^2 = e^arctan(2x)cdot21+4x^2
Multiplicando por x^2, o segundo termo é
x^2,e^arctan(2x)cdot21+4x^2

Passo 5

Somando os dois termos e fatorando e^arctan(2x), temos
f'(x) =2x,e^arctan(2x) + x^2,e^arctan(2x)cdot21+4x^2 = e^arctan(2x)!l(2x+2x^21+4x^2r)

Resposta

f'(x) = e^arctan(2x)!l(2x+2x^21+4x^2r)

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