Calcule as seguintes integrais utilizando o método de integração por partes:
integral e^x sin (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral e^x sin(2x),dx usando integração por partes. O conteúdo é técnicas de integração, especialmente a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du. Vamos precisar escolher bem u e dv, aplicar duas vezes, e usar álgebra para isolar a integral original.

Passo 2

Definimos I = integral e^x sin(2x),dx. Escolhemos u = e^x e dv = sin(2x),dx. Então du = e^x,dx e integramos dv:
v = integral sin(2x),dx = -tfrac12cos(2x)

Passo 3

Aplicando integração por partes:
I = u v - integral v,du = e^x l(-tfrac12cos(2x)r) - integral l(-tfrac12cos(2x)r) e^x,dx
ou seja
I = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac12integral e^xcos(2x),dx

Passo 4

Chamemos J = integral e^xcos(2x),dx. Para achar J repetimos o mesmo processo:
Escolhemos u = e^x, dv = cos(2x),dx, então du = e^x,dx e
v = integral cos(2x),dx = tfrac12sin(2x)

Passo 5

Assim
J = e^x l(tfrac12sin(2x)r) - integral l(tfrac12sin(2x)r) e^x,dx
ou seja
J = tfrac12e^xsin(2x) - tfrac12I

Passo 6

Voltando na expressão de I:
I = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac12J

Passo 7

Substituindo J:
I = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac12l(tfrac12e^xsin(2x) - tfrac12Ir)

Passo 8

Distribuindo e isolando I:
I = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac14e^xsin(2x) - tfrac14I

Passo 9

Somando tfrac14I aos dois lados:
I + tfrac14I = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac14e^xsin(2x)

Passo 10

Portanto
tfrac54I = e^xl(-tfrac12cos(2x) + tfrac14sin(2x)r)

Passo 11

Logo
I = 45 e^xl(-tfrac12cos(2x) + tfrac14sin(2x)r) = e^x5l(sin(2x) - 2cos(2x)r)

Resposta

integral e^x sin(2x),dx = e^x5l(sin(2x) - 2cos(2x)r) + C.

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