Resolva as integrais abaixo (use integração por partes quando necessário):
integral x^3 e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3e^-x,dx, e o método indicado é a integração por partes. Vamos usar a fórmula básica:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos u = x^3 e dv = e^-x,dx. Então:
du = 3x^2,dx, v = integral e^-x,dx = -e^-x
Aplicando a fórmula de partes:
integral x^3e^-x,dx = u,v - integral v,du = -x^3e^-x + 3integral x^2e^-x,dx

Passo 3

Agora precisamos calcular integral x^2e^-x,dx. De novo por partes, escolhemos u = x^2 e dv = e^-x,dx. Aí:
du = 2x,dx, v = -e^-x
Logo:
integral x^2e^-x,dx = -x^2e^-x + 2integral x e^-x,dx

Passo 4

Falta então integral x e^-x,dx. Outra vez por partes: tomamos u = x, dv = e^-x,dx. Assim:
du = dx, v = -e^-x
Então:
integral x e^-x,dx = -x e^-x + integral e^-x,dx = -x e^-x - e^-x = -e^-x(x+1)

Passo 5

Substituindo de volta em integral x^2e^-x,dx:
integral x^2e^-x,dx = -x^2e^-x + 2[-e^-x(x+1)] = -x^2e^-x - 2x e^-x - 2e^-x
Fatorando -e^-x:
integral x^2e^-x,dx = -e^-x(x^2 + 2x + 2)

Passo 6

Por fim, voltamos à integral x^3e^-x,dx:
integral x^3e^-x,dx = -x^3e^-x + 3l[-e^-x(x^2+2x+2)r] = -x^3e^-x - 3x^2e^-x - 6x e^-x - 6e^-x
Fatorando -e^{-x} obtemos uma antiderivada:
F(x) = -e^-x(x^3 + 3x^2 + 6x + 6)

Resposta

-e^-x(x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + C

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