Determine a derivada direcional de f(x, y)=raizx y cdot e^y em (1,1) na direção e sentido do eixo-Y negativo;

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função f(x,y)=raizxy,e^y no ponto (1,1) na direção e sentido do eixo- y negativo. O conteúdo envolvido é derivada direcional, e vamos precisar calcular o gradiente de f e determinar o vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de f. Usando que f(x,y)=g(x,y)e^y com g(x,y)=raizxy, temos
fx(x,y)=y2raizxy,e^y, fy(x,y)=x2raizxy,e^y+raizxy,e^y

Passo 3

No ponto (1,1) isso dá
fx(1,1)=12e=e2, fy(1,1)=12e+1cdot e=3e2

Passo 4

O vetor na direção do eixo- y negativo é (0,-1), que já é de norma 1, então
u=(0,-1)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar nabla f(1,1)cdot u:
Du f(1,1)=l(tfrace2,tfrac3e2r)cdot(0,-1)=0-tfrac3e2=-tfrac3e2

Resposta

-\tfrac{3e}{2}

Exercícios relacionados