Use a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s e partial zpartial t.
z=sen theta sen phi, theta=s t^2 phi=s^2 t

Passo 1

Aqui a gente tem a função composta: z=sintheta;sinphi com as variáveis internas theta=st^2 e phi=s^2t. O que precisamos é de partial zpartial s e partial zpartial t, então vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação aos seus argumentos theta e phi. Como z=sintheta;sinphi, temos
partial zpartialtheta=costheta;sinphi
e
partial zpartialphi=sintheta;cosphi
Aqui usei que a derivada de sin u é cos u.

Passo 3

Em seguida, derivamos theta e phi em relação a s e t:
partialthetapartial s=t^2, partialthetapartial t=2st,
partialphipartial s=2st, partialphipartial t=s^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia. Para s vale
partial zpartial s =partial zpartialthetapartialthetapartial s +partial zpartialphipartialphipartial s =l(costheta;sinphir),t^2 +l(sintheta;cosphir),2st
E para t:
partial zpartial t =partial zpartialthetapartialthetapartial t +partial zpartialphipartialphipartial t =l(costheta;sinphir),2st +l(sintheta;cosphir),s^2

Passo 5

Para terminar, substituímos theta=st^2 e phi=s^2t deixando tudo em função de s e t. Assim chegamos às expressões finais.

Resposta

partial zpartial s=cosl(st^2r),sinl(s^2tr);t^2 +sinl(st^2r),cosl(s^2tr);2st,
partial zpartial t=cosl(st^2r),sinl(s^2tr);2st +sinl(st^2r),cosl(s^2tr);s^2

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