Determine a derivada direcional de
no ponto
na direção e sentido do eixo-z positivo;
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=x³y²z⁵−2xz+yz+3x no ponto P=(1,1,0) na direção do eixo z positivo. Como a derivada direcional é dada por D_u f§=∇f§⋅u, precisamos do gradiente de f e do vetor unitário u apontando para z.
Passo 2
Para achar ∇f, calculamos cada derivada parcial usando regras básicas de derivação:
– ∂f/∂x: trate y,z como constantes e use potência e produto
– ∂f/∂y: análogo
– ∂f/∂z: idem
Fazendo as contas, obtemos:
– ∂f/∂x: trate y,z como constantes e use potência e produto
– ∂f/∂y: análogo
– ∂f/∂z: idem
Fazendo as contas, obtemos:
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas parciais em P=(1,1,0). Como em ∂f/∂x e ∂f/∂y todos os termos com z^5 viram zero, e em ∂f/∂z o termo com z^4 some, fica:
Passo 4
A direção do eixo z positivo corresponde ao vetor unitário u=(0,0,1).
Passo 5
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar
Resposta
-1