Determine a derivada direcional de f(x, y, z)=x^3 y^2 z^5-2 x z+y z+3 x no ponto (1,1,0) na direção e sentido do eixo-z positivo;

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=x³y²z⁵−2xz+yz+3x no ponto P=(1,1,0) na direção do eixo z positivo. Como a derivada direcional é dada por D_u f§=∇f§⋅u, precisamos do gradiente de f e do vetor unitário u apontando para z.

Passo 2

Para achar ∇f, calculamos cada derivada parcial usando regras básicas de derivação:
– ∂f/∂x: trate y,z como constantes e use potência e produto
– ∂f/∂y: análogo
– ∂f/∂z: idem
Fazendo as contas, obtemos:
partial fpartial x=3x^2y^2z^5-2z+3, partial fpartial y=2x^3yz^5+z, partial fpartial z=5x^3y^2z^4-2x+y

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas parciais em P=(1,1,0). Como em ∂f/∂x e ∂f/∂y todos os termos com z^5 viram zero, e em ∂f/∂z o termo com z^4 some, fica:
nabla f(1,1,0)=(3cdot1^2cdot1^2cdot0^5-2cdot0+3,;2cdot1^3cdot1cdot0^5+0,;5cdot1^3cdot1^2cdot0^4-2cdot1+1)=(3,0,-1)

Passo 4

A direção do eixo z positivo corresponde ao vetor unitário u=(0,0,1).

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar
Du f(1,1,0)=nabla f(1,1,0)cdot u=(3,0,-1)cdot(0,0,1)=-1

Resposta

-1

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