Nos Exercícios de 1 a 4, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
com vínculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando os multiplicadores de Lagrange. A função que queremos otimizar é $ f(x, y) = 4x^{2} + 2y^{2} + 5 $ e o vínculo (ou restrição) é $ x^{2} + y^{2} - 2y = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como os multiplicadores de Lagrange funcionam, que nos ajudam a encontrar os pontos críticos de uma função com uma restrição.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria, para usar os multiplicadores de Lagrange, a gente define uma nova função chamada de função de Lagrange:
Aqui, $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2y $ é a nossa restrição e $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange. Então, substituindo na nossa função de Lagrange:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a $ x $, $ y $ e $ \lambda $, e igualar cada uma a zero. Isso nos dará um sistema de equações.
Primeiro, a derivada em relação a $ x $:
Depois, a derivada em relação a $ y $:
E por último, a derivada em relação a $ \lambda $ é justamente a restrição:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Começamos com a primeira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ 8 - 2\lambda = 0 $ que implica $ \lambda = 4 $
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na segunda equação:
Fatorando $ \lambda $:
Agora, usamos a restrição $ x^{2} + y^{2} - 2y = 0 $:
Logo, $ y = 0 $ ou $ y = 2 $.
-
Se $ y = 0 $:Substituindo na equação $ 4(0) - 2\lambda(0) + 2\lambda = 0 $, temos $ 2\lambda = 0 $, então $ \lambda = 0 $.
-
Se $ y = 2 $:Substituindo na equação $ 4(2) - 2\lambda(2) + 2\lambda = 0 $:$ 8 - 4\lambda + 2\lambda = 0 \implies 8 - 2\lambda = 0 \implies \lambda = 4 $
Então, nesse caso, temos dois pontos críticos:
- $ (0, 0) $ com $ \lambda = 0 $
- $ (0, 2) $ com $ \lambda = 4 $
Passo 6
Caso 2: $ \lambda = 4 $
Voltando à segunda equação:
Agora, usamos a restrição $ x^{2} + y^{2} - 2y = 0 $ com $ y = 2 $:
Então, nesse caso, temos o ponto crítico $ (0, 2) $ com $ \lambda = 4 $, que já encontramos no caso anterior.
Resposta
Os pontos críticos da função são $ (0, 0) $ com $ \lambda = 0 $ e $ (0, 2) $ com $ \lambda = 4 $.