Nos Exercícios de 1 a 4, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
f(x, y)=4 x^2+2 y^2+5 com vínculo x^2+y^2-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando os multiplicadores de Lagrange. A função que queremos otimizar é $ f(x, y) = 4x^{2} + 2y^{2} + 5 $ e o vínculo (ou restrição) é $ x^{2} + y^{2} - 2y = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como os multiplicadores de Lagrange funcionam, que nos ajudam a encontrar os pontos críticos de uma função com uma restrição.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria, para usar os multiplicadores de Lagrange, a gente define uma nova função chamada de função de Lagrange:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y))
Aqui, $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2y $ é a nossa restrição e $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange. Então, substituindo na nossa função de Lagrange:
g(x, y) = x^2 + y^2 - 2y

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a $ x $, $ y $ e $ \lambda $, e igualar cada uma a zero. Isso nos dará um sistema de equações.
Primeiro, a derivada em relação a $ x $:
x
Depois, a derivada em relação a $ y $:
y
E por último, a derivada em relação a $ \lambda $ é justamente a restrição:
lambda

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Começamos com a primeira equação:
8x - 2lambda x = 0 implies x(8 - 2lambda) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ 8 - 2\lambda = 0 $ que implica $ \lambda = 4 $
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na segunda equação:
x = 0
Fatorando $ \lambda $:
x = 0
Agora, usamos a restrição $ x^{2} + y^{2} - 2y = 0 $:
4y - 2lambda y + 2lambda = 0
Logo, $ y = 0 $ ou $ y = 2 $.
  • Se $ y = 0 $:
    Substituindo na equação $ 4(0) - 2\lambda(0) + 2\lambda = 0 $, temos $ 2\lambda = 0 $, então $ \lambda = 0 $.
  • Se $ y = 2 $:
    Substituindo na equação $ 4(2) - 2\lambda(2) + 2\lambda = 0 $:
    $ 8 - 4\lambda + 2\lambda = 0 \implies 8 - 2\lambda = 0 \implies \lambda = 4 $
Então, nesse caso, temos dois pontos críticos:
  • $ (0, 0) $ com $ \lambda = 0 $
  • $ (0, 2) $ com $ \lambda = 4 $

Passo 6

Caso 2: $ \lambda = 4 $
Voltando à segunda equação:
lambda = 4
Agora, usamos a restrição $ x^{2} + y^{2} - 2y = 0 $ com $ y = 2 $:
4y - 2(4)y + 2(4) = 0 implies 4y - 8y + 8 = 0 implies -4y + 8 = 0 implies y = 2
Então, nesse caso, temos o ponto crítico $ (0, 2) $ com $ \lambda = 4 $, que já encontramos no caso anterior.

Resposta

Os pontos críticos da função são $ (0, 0) $ com $ \lambda = 0 $ e $ (0, 2) $ com $ \lambda = 4 $.

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