Determine a derivada direcional da função dada na direção \mathbf{v} :
z=y^{2} t g^{2}(x), \overrightarrow{\mathrm{v}}=\frac{1}{2}(-\sqrt{3}, 1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=y^{2}\tan^{2}(x)
e o vetor de direção
\mathbf v=\frac12\bigl(-\sqrt3,\;1\bigr).
Queremos a derivada direcional de f segundo \mathbf v, ou seja
D_{\mathbf v}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf v.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Em primeiro lugar,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\tan^{2}(x)\bigr) =y^{2}\cdot 2\tan(x)\cdot \operatorname{sec}^{2}(x) =2\,y^{2}\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x).
Em seguida,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\tan^{2}(x)\bigr) =2\,y\,\tan^{2}(x).

Passo 3

Verificar que \mathbf v é unitário:
\|\mathbf v\| =\sqrt{\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{4}} =1.
Logo podemos usar diretamente \mathbf v na fórmula da derivada direcional.

Passo 4

Aplicar
D_{\mathbf v}f(x,y) =\frac{\partial f}{\partial x}\;v_{1} +\frac{\partial f}{\partial y}\;v_{2}.
Substituindo
v_{1}=-\tfrac{\sqrt3}{2},\quad v_{2}=\tfrac12,
temos
D_{\mathbf v}f(x,y) =2\,y^{2}\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x)\,\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) +2\,y\,\tan^{2}(x)\,\Bigl(\tfrac12\Bigr).
Simplificando os fatores 2 e \tfrac12:
D_{\mathbf v}f(x,y) =-\sqrt3\,y^{2}\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x) +y\,\tan^{2}(x).

Resposta

D_{\mathbf v}f(x,y) =-\sqrt3\,y^{2}\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x) +y\,\tan^{2}(x).

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