Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f no ponto P se:
z=x^{2}+y, P=(1,1, f(1,1)).

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^2+y
e pede a equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto
P=(1,1,f(1,1)).
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em (1,1) e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, determinamos a coordenada z de P calculando
f(1,1)=1^2+1=2.
Logo
P=(1,1,2).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=1.
Em (1,1) temos
f_x(1,1)=2\cdot1=2, \quad f_y(1,1)=1.

Passo 4

A fórmula geral do plano tangente a z=f(x,y) em (a,b,f(a,b)) é
z-f(a,b)=f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Substituindo a=1, b=1, f(1,1)=2, f_x(1,1)=2 e f_y(1,1)=1, obtém-se
z-2=2\,(x-1)+1\,(y-1).
Simplificando:
z=2x+y-1.

Resposta

A equação do plano tangente é
z=2x+y-1.

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