Calcule a Derivadas parciais de cada função:
z=\operatorname{arctg}\left(x^{2}+y\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
z = \operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta z=\operatorname{arctg}(u) com u=x^{2}+y.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, identificamos u(x,y)=x^{2}+y. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr]\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Sabendo que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr] =\frac{1}{1+u^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial x}=2x,
temos
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{1}{1+\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}}\cdot2x =\frac{2x}{1+(x^{2}+y)^{2}}.

Passo 3

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, usamos a mesma ideia:
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr]\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+u^{2}}\cdot1 =\frac{1}{1+\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{2x}{1+(x^{2}+y)^{2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{1}{1+(x^{2}+y)^{2}}.

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