Calcule
onde
e
é a superfície dada por
com
e tendo vetor normal com componente
negativo.
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é o “chapéu” parabólico dado por
,
, com o vetor normal apontando para baixo (componente
negativa).
Como a superfície está aberta, usamos o Teorema da Divergência no volume limitado por
e pelo disco
.
Como a superfície está aberta, usamos o Teorema da Divergência no volume
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, com
sendo o normal externo ao volume,
No volume
, em coordenadas polares
,
,
,
, só o termo constante sobrevive pela simetria:
Logo
Passo 4
No disco
a normal externa ao volume é
e
.
Logo
Logo
Passo 5
Queremos
com a normal apontando para baixo, isto é, com
sobre
.
Do Teorema da Divergência temos
Do Teorema da Divergência temos
Como a orientação pedida em
é a oposta à do
, obtemos