Calcule \int_{\sigma} \vec{F} \cdot d \vec{S} onde \vec{F}=\left(x^{2} y, x y, z\right) e \sigma é a superfície dada por z=2-x^{2}-y^{2} com z \geq 0 e tendo vetor normal com componente z negativo.
( ) 4 \pi
( ) 3 \pi
( ) -\pi
( ) 3 \pi / 2
( ) -2 \pi
( ) 0

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\int_{\sigma}\vec F\cdot d\vec S
onde \vec F=(x^{2}y,\;xy,\;z) e \sigma é o “chapéu” parabólico dado por z=2-x^{2}-y^{2}, z\ge0, com o vetor normal apontando para baixo (componente z negativa).
Como a superfície está aberta, usamos o Teorema da Divergência no volume V limitado por \sigma e pelo disco D\colon z=0,\;x^{2}+y^{2}\le2.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\div \vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) +\frac{\partial}{\partial y}(xy) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =2xy + x + 1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, com n_{\rm out} sendo o normal externo ao volume,
\iint_{\sigma} \vec F\cdot n_{\rm out}\,dS +\iint_{D} \vec F\cdot n_{\rm out}\,dS =\iiint_{V}(2xy + x + 1)\,dV.
No volume V, em coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, r\in[0,\sqrt2], \theta\in[0,2\pi], z\in[0,2-r^2], só o termo constante sobrevive pela simetria:
\iiint_{V}1\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt2}\!\int_{0}^{2-r^2}1\;dz\;r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt2}(2-r^2)\,r\,dr\,d\theta =\;2\pi\cdot1 =2\pi.
Logo
\iiint_{V}(2xy+x+1)\,dV = 2\pi.

Passo 4

No disco D a normal externa ao volume é n_{\rm out}=-\mathbf k e \vec F|_{z=0}=(x^2y,xy,0).
Logo
\vec F\cdot n_{\rm out}=-F_{z}=0 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{D}\vec F\cdot n_{\rm out}\,dS=0.

Passo 5

Queremos \int_{\sigma}\vec F\cdot d\vec S com a normal apontando para baixo, isto é, com n_{\rm spec}=n_{\rm in}=-\,n_{\rm out} sobre \sigma.
Do Teorema da Divergência temos
\iint_{\sigma}\vec F\cdot n_{\rm out}\,dS =2\pi - 0 =2\pi.
Como a orientação pedida em \sigma é a oposta à do n_{\rm out}, obtemos
\int_{\sigma}\vec F\cdot d\vec S =\iint_{\sigma}\vec F\cdot n_{\rm spec}\,dS =-\iint_{\sigma}\vec F\cdot n_{\rm out}\,dS =-2\pi.

Resposta

-2\pi

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