Determine a derivada direcional da função dada no ponto especificado e na direção indicada.
f(x, y)=\frac{x y}{x+y} ;(2 ;-1) ; \mathbf{u}=6 \mathbf{i}+8 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\frac{xy}{x+y}
no ponto (2,-1) na direção do vetor \mathbf{u}=6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}. Para isso vamos precisar de duas coisas: as derivadas parciais de f e o vetor unitário na direção de \mathbf{u}.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais usando a regra do quociente. Definindo g(x,y)=xy e h(x,y)=x+y, temos
f(x,y)=\frac{g(x,y)}{h(x,y)},
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\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{h\frac{\partial g}{\partial x}-g\frac{\partial h}{\partial x}}{h^2} =\frac{(x+y)\cdot y - (xy)\cdot 1}{(x+y)^2} =\frac{y^2}{(x+y)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{h\frac{\partial g}{\partial y}-g\frac{\partial h}{\partial y}}{h^2} =\frac{(x+y)\cdot x - (xy)\cdot 1}{(x+y)^2} =\frac{x^2}{(x+y)^2}.

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais em (2,-1). Note que x+y=2+(-1)=1, então
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(2,-1)} =\frac{(-1)^2}{1^2}=1, \quad \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(2,-1)} =\frac{2^2}{1^2}=4.
O gradiente em (2,-1) é
\nabla f(2,-1) = (1,\,4).

Passo 4

O vetor dado é \mathbf{u}=(6,8). Seu comprimento é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10,
logo o vetor unitário na direção de \mathbf{u} é
\hat{\mathbf{u}} =\frac{1}{10}(6,8) =(0{,}6,\,0{,}8).

Passo 5

A derivada direcional de f em (2,-1) na direção de \mathbf{u} é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(2,-1) =\nabla f(2,-1)\cdot\hat{\mathbf{u}} =(1,4)\cdot(0{,}6,0{,}8) =1\cdot0{,}6 + 4\cdot0{,}8 =0{,}6 + 3{,}2 =3{,}8.

Resposta

A derivada direcional é \displaystyle 3{,}8 (ou \tfrac{19}{5}).

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