Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial indicado.
\boldsymbol{F}(x, y, z)=(x-y)^{3} \boldsymbol{i}+e^{-y z} \boldsymbol{j}+x y e^{2 y} \boldsymbol{k}

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(x-y)^{3}\,\mathbf{i}+e^{-yz}\,\mathbf{j}+x\,y\,e^{2y}\,\mathbf{k}
e pede o divergente e o rotacional. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: usaremos as definições em coordenadas cartesianas que envolvem derivadas parciais.

Passo 2

Cálculo do divergente. A definição é
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z},
onde F_x=(x-y)^3, F_y=e^{-yz} e F_z=x\,y\,e^{2y}. Portanto:
\frac{\partial F_x}{\partial x} =3(x-y)^2,\quad \frac{\partial F_y}{\partial y} =-z\,e^{-yz},\quad \frac{\partial F_z}{\partial z} =0.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F} =3(x-y)^2 - z\,e^{-yz}.

Passo 3

Cálculo do rotacional. Usamos
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Chamando F_x=(x-y)^3, F_y=e^{-yz}, F_z=x\,y\,e^{2y}, temos:
  • Componente \mathbf{i}:
    \partial_y F_z - \partial_z F_y = \partial_y\bigl(xy\,e^{2y}\bigr) - \partial_z\bigl(e^{-yz}\bigr) = x e^{2y}(1+2y) -(-y e^{-yz}) = x e^{2y}(1+2y)+y e^{-yz}. - Componente \mathbf{j}:
    -\bigl(\partial_x F_z - \partial_z F_x\bigr) = -\bigl( y e^{2y} - 0\bigr) = -y e^{2y}. - Componente \mathbf{k}:
    \partial_x F_y - \partial_y F_x = 0 -\bigl(-3(x-y)^2\bigr) =3(x-y)^2. Portanto
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(x e^{2y}(1+2y)+y e^{-yz}\bigr)\,\mathbf{i} - y e^{2y}\,\mathbf{j} + 3(x-y)^2\,\mathbf{k}.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{F} =3(x-y)^2 - z\,e^{-yz},
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(x e^{2y}(1+2y)+y e^{-yz}\bigr)\,\mathbf{i} - y e^{2y}\,\mathbf{j} + 3(x-y)^2\,\mathbf{k}.

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