Determine a derivada direcional da função dada no ponto P0 e na direção de v
f(x, y)=e^y cos x+e^x cos y ; P0=(0,0) ; v=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=e^{y}\cos x + e^{x}\cos y no ponto P₀=(0,0) na direção do vetor v=(1,1). O conteúdo principal é derivada direcional, que usamos via gradiente e produto escalar com o vetor unitário da direção.

Passo 2

Para achar a derivada direcional, primeiro computamos as derivadas parciais de f. Pela definição:
partial fpartial x = -e^ysin x + e^xcos y
partial fpartial y = e^ycos x - e^xsin y

Passo 3

Em seguida, avaliamos essas parciais em P₀=(0,0). Como e⁰=1, sin0=0 e cos0=1, temos f_x(0,0)=1 e f_y(0,0)=1, ou seja nabla f(0,0)=(1,1).

Passo 4

Agora precisamos do vetor unitário na direção de v. A norma de v é ||v||= raiz1^2+1^2=raiz2, então o vetor unitário é
$$
u = \frac{1}{\sqrt{2}},(1,1) u = 1raiz2,(1,1)é
D_{u}f(0,0)=\nabla f(0,0) \cdot u = (1,1)\cdot\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)=\frac{1+1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}
$$

Resposta

raiz2

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