Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=e^{y}\cos x + e^{x}\cos y no ponto P₀=(0,0) na direção do vetor v=(1,1). O conteúdo principal é derivada direcional, que usamos via gradiente e produto escalar com o vetor unitário da direção.
Passo 2
Para achar a derivada direcional, primeiro computamos as derivadas parciais de f. Pela definição:
Passo 3
Em seguida, avaliamos essas parciais em P₀=(0,0). Como e⁰=1, sin0=0 e cos0=1, temos f_x(0,0)=1 e f_y(0,0)=1, ou seja
.
Passo 4
Agora precisamos do vetor unitário na direção de v. A norma de v é ||v||=
, então o vetor unitário é
$$
u = \frac{1}{\sqrt{2}},(1,1)
D_{u}f(0,0)=\nabla f(0,0) \cdot u = (1,1)\cdot\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)=\frac{1+1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}
$$