Determine os pontos nos quais a função
é diferenciável.
Passo 1
Temos a função
A disciplina aqui é cálculo de várias variáveis, mais precisamente diferenciabilidade em R². Para resolver vamos usar que: (1) funções racionais são diferenciáveis onde o denominador não zera e (2) no ponto (0,0) precisamos analisar a continuidade e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Se (x,y)≠(0,0), então
e portanto a função é quociente de polinômios com denominador nunca nulo. Isso garante que f é de classe C^∞ nesse domínio, logo diferenciável em todo ponto (x,y)≠(0,0).
Passo 3
No ponto (0,0) precisamos ver se f é contínua (condição necessária para diferenciabilidade). Considere o caminho y=kx³. Então
Passo 4
Esse limite depende de k e não tende a 0, logo f não é contínua em (0,0) e, portanto, não pode ser diferenciável ali.
Resposta
A função f é diferenciável em todos os pontos (x,y)≠(0,0) e não é diferenciável em (0,0).