Determine os pontos nos quais a função f é diferenciável.
ccx^3 y2 x^6+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=dfracx^3y2x^6+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
A disciplina aqui é cálculo de várias variáveis, mais precisamente diferenciabilidade em R². Para resolver vamos usar que: (1) funções racionais são diferenciáveis onde o denominador não zera e (2) no ponto (0,0) precisamos analisar a continuidade e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Se (x,y)≠(0,0), então
2x^6+y^2>0
e portanto a função é quociente de polinômios com denominador nunca nulo. Isso garante que f é de classe C^∞ nesse domínio, logo diferenciável em todo ponto (x,y)≠(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos ver se f é contínua (condição necessária para diferenciabilidade). Considere o caminho y=kx³. Então

Passo 4

f(x,kx^3)=x^3,(kx^3)2x^6+(kx^3)^2 =kx^62x^6+k^2x^6 =kx^6(2+k^2)x^6 =k2+k^2
Esse limite depende de k e não tende a 0, logo f não é contínua em (0,0) e, portanto, não pode ser diferenciável ali.

Resposta

A função f é diferenciável em todos os pontos (x,y)≠(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

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