Seja X=(x, y) in R^2. Em quais pontos a função f(X)=|X|1-|X|^2 é descontinua?

Passo 1

O enunciado pede para identificar onde a função f: R^2to R, definida por f(X)=|X|1-|X|^2 com X=(x,y), é descontínua. O conteúdo é análise de continuidade de quociente de funções contínuas, e vamos usar o fato de que a divisão só falha quando o denominador zera.

Passo 2

A norma |X|=raizx^2+y^2 é contínua em R^2. Logo a função g(X)=1-|X|^2 também é contínua. Sabemos que o quociente de duas funções contínuas é contínuo em todos os pontos em que o denominador é diferente de zero.

Passo 3

Para achar onde g(X)=1-|X|^2 zera, resolvemos:
1-|X|^2=0Longrightarrow|X|^2=1Longrightarrow x^2+y^2=1

Passo 4

Portanto, o denominador some exatamente nos pontos do círculo unitário, e é aí que f deixa de ser contínua, pois não está nem definida nesses pontos.

Resposta

A função é descontínua exatamente em todos os pontos (x,y) tais que x^2+y^2=1.

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